Clásicos De La Matemática - Introducción A Los Elementos Del Álgebra - Leonard Euler

Edición digital para la Biblioteca Digital del ILCE

Título original: Elements of Algebra

O De la traducción: Emilio Méndez Pinto

Primera edición: Longman, Hurst, Rees, Orme, é Co., 1822
D. R. O Longman, Hurst, Rees, Orme, é Co., 1822
Prohibida su reproducción por cualquier medio mecánico o
eléctrico sin la autorización por escrito de los coeditores.

SECCIÓN I
DE LOS DISTINTOS MÉTODOS PARA CALCULAR CANTIDADES SIMPLES

CAPÍTULO I
DE LAS MATEMÁTICAS EN GENERAL

ARTÍCULO I

1. A todo lo que es capaz de aumentar o disminuir se le llama magnitud o cantidad.

Una suma de dinero es, por lo tanto, una cantidad, porque podemos aumentarla y
disminuirla. Lo mismo sucede con un peso y con otras cosas de esta naturaleza.

2. De esta definición es evidente que los diversos tipos de magnitud deben ser tantos
que es difícil incluso enumerarlos, y este es el origen de las distintas ramas de las
matemáticas, cada una siendo empleada sobre un tipo particular de magnitud. Las
matemáticas, en general, son la ciencia de la cantidad, o la ciencia que investiga los medios
para medir la cantidad.

3. Ahora bien, no podemos medir o determinar ninguna cantidad a menos que
consideremos alguna otra cantidad del mismo tipo como es conocido, y señalar su relación
mutua. Si se propusiera, por ejemplo, determinar la cantidad de una suma de dinero,
debemos tomar alguna pieza de dinero conocida (como un Luis de oro, una corona, un
ducado, o alguna otra moneda) y mostrar cuántas de estas piezas están contenidas en la
suma dada. De la misma forma, si se propusiera determinar la cantidad de un peso,
debemos tomar un cierto peso conocido, por ejemplo, una libra, una onza, etc., y después
mostrar cuántas veces uno de estos pesos está contenido en aquello que intentamos
determinar. Si quisiésemos medir cualquier longitud o extensión, debemos hacer uso de
alguna longitud conocida, como un metro.

4. Así que la determinación, o la medición de la magnitud de todos los tipos, se
reduce a esto: fíjese a placer, sobre cualquier magnitud conocida de la misma especie,
aquello con lo que estará determinada, y considérese como la medida o unidad; después,
determínese la proporción de la magnitud propuesta con esta magnitud conocida. Esta

proporción siempre se expresa con números, de tal manera que un número no es nada más

que la proporción de una magnitud con otra [magnitud] asumida arbitrariamente como la
unidad.

5. De esto se desprende que todas las magnitudes pueden ser expresadas con
números, y que el fundamento de todas las ciencias matemáticas debe establecerse en un
tratado completo sobre la ciencia de los números y en un examen preciso de los distintos
métodos de cálculo posibles. A esta parte fundamental de las matemáticas se le llama
análisis o álgebra.

6. En el álgebra, pues, consideramos únicamente números que representan
cantidades sin tomar en cuenta los distintos tipos de cantidad. Éstos son el objeto de otras
ramas de las matemáticas.

7. La aritmética trata de los números en particular, y es la ciencia de los números
propiamente dichos. Pero esta ciencia sólo se extiende a ciertos métodos del cálculo que
tienen lugar en la práctica común. El álgebra, por el contrario, comprende, en general, todos

los casos que pueden existir en la doctrina y cálculo de los números.

CAPÍTULO II
EXPLICACIÓN DE LOS SIGNOS MÁS (+) Y MENOS (-)

8. Cuando tenemos que añadir un número dado a otro, lo indicamos con el signo +,
que ponemos antes del segundo número y se lee como más. Así, 5+3 significa que
debemos añadir 3 al número 5, y todo mundo sabe que el resultado es 8. De igual forma,
12+7 hacen 19, 25+16 hacen 41, la suma de 25+41 es 66, etc.

9. También hacemos uso del mismo signo + (más) para conectar varios números;
por ejemplo, 7+3+09 significa que al número 7 debemos añadir 5 y también 9, lo que hace
21. El lector comprenderá qué se quiere decir con

8+5+13+11+1+3+10,
a saber, la suma de todos estos números, que es 51.

10. Todo esto es evidente, y sólo tenemos que mencionar que, en el álgebra, para
poder generalizar números, los representamos con letras como a, b, c, d, etc. Así, la
expresión a+b significa la suma de dos números que expresamos con a y b, y estos

números pueden ser muy grandes o muy pequeños. De igual manera, f+m+b+x

significa la suma de los números representados por estas cuatro letras. Por consiguiente, si
conocemos los números representados por las letras, en todo momento seremos capaces de
encontrar, por medio de la aritmética, la suma o valor de expresiones similares.

11. Por otra parte, cuando requerimos sustraer un número dado de otro, denotamos a
esta operación con -, que significa menos, y lo ponemos antes del número a ser sustraído.
Así, 8—5 significa que debemos quitar el número 5 de 8; habiéndolo hecho, queda 3.
Igualmente, 12—7 es lo mismo que 5, 20—14 es lo mismo que 6, etc.

12. A veces podemos tener varios números a sustraer de uno solo, como, por
ejemplo, 50—1-3-5-—7-—09. Esto significa, primero, quitar 1 de 50, y queda 49; tomar 3
de ese resto, entonces quedará 46; quitar 5, queda 41; quitar 7, queda 34; por último, quitar
9 de eso, y queda 25. Este último resto es el valor de la expresión. Pero como han de ser
sustraídos todos los números 1, 3, 5, 7, 9, es lo mismo si sustraemos su suma, que es 25, de
una vez de 50, y el resto será 25 igual que antes.

13. También es muy sencillo determinar el valor de expresiones similares en donde
aparecen los dos signos + (más) y - (menos). Por ejemplo:

12-3-5+2-1 es lo mismo que 5.
Simplemente tenemos que reunir por separado la suma de los números que tienen el signo +
antes que ellos y sustraer de ésta la suma de aquellos que tienen el signo -. La suma de 12 y
2 es 14; la de 3, 5 y 1 es 9, y quitando 9 de 14 queda $5.

14. De estos ejemplos puede percibirse que el orden en el que escribimos los
números es indiferente y arbitrario siempre que se preserve el signo apropiado para cada
uno. Con igual decoro, pudimos haber arreglado esta expresión así: 124+2-5-3-1, o
2-1-3-5+12,0 2+12-3-—1-5, o aún en órdenes distintas. Debe observarse que en la
expresión propuesta el signo + está supuesto a estar antes que el número 12.

15. No supondrá más dificultades si, para generalizar estas Operaciones, hacemos
uso de letras en lugar de números reales. Es claro, por ejemplo, que

a=b=c+d-e
significa que tenemos números expresados por a y d, y que de estos números, o de su suma,
debemos extraer los números expresados por b, c, e, que tienen antes de ellos el signo -.

16. Por lo tanto, es absolutamente necesario considerar qué signo se antepone a cada

número, porque en el álgebra las cantidades simples son números considerados con

respecto a los signos que los preceden o los afectan. Además, llamamos cantidades
positivas a aquellas antecedidas por el signo +, y cantidades negativas a las afectadas por el
signo -.

17. La manera en que por lo general calculamos la propiedad de una persona es un
buen ejemplo de lo que se ha dicho. Denotamos lo que un hombre realmente posee con
números positivos, utilizando o comprendiendo el signo +, mientras que sus deudas están
representadas con números negativos o utilizando el signo -. Así, cuando de cualquiera se
dice que tiene 100 coronas pero que debe 50, esto significa que en realidad su propiedad
asciende a 100—50 (o, a lo que es la misma cosa, +100-—50, esto es, 50).

18. Como podemos considerar los números negativos como deudas porque los
números positivos representan posesiones reales, podemos decir que los números negativos
son menos que nada. Ahora obtenemos los números positivos añadiendo 1 a 0, esto es, a
nada, y continuando siempre así para incrementar desde la unidad. Este es el origen de la
serie de los números llamados números naturales, siendo los siguientes los términos
principales de la serie

0,+1,+2,+3,+4,+5,+6,+7,+8,+9, +10,
y así hasta el infinito.

Pero si en lugar de continuar esta serie por adiciones sucesivas la continuamos en la

dirección opuesta al sustraer la unidad perpetuamente, tendremos la serie de números

negativos:

0,-1,-2,-3,-4,-5,-6,—7,-8,-9,-10,
y así hasta el infinito.

20. Todos estos números, ya sean positivos o negativos, tienen la conocida
denominación de números enteros, que consecuentemente son O mayores o menores que
nada. Los llamamos enteros para distinguirlos de las fracciones y de otros tipos de números
de los que hablaremos más adelante. Por ejemplo, al ser 50 mayor que 49 por una unidad
entera, es fácil ver que entre 49 y 50 puede haber una infinidad de números intermedios,
todos mayores que 49 y menores que 50. Sólo tenemos que imaginar dos líneas, una de 50
metros de largo y otra de 49, para que sea evidente que podemos trazar un número infinito

de líneas todas mayores a 49 metros y menores a 50.

21. Para los propósitos del álgebra, es muy importante formarse una idea precisa de
las cantidades negativas sobre las que hemos estado hablando. Me contentaré con hacer
observar aquí que todas las expresiones del tipo

+1-1,+2-2,+3 -3,+4 —4, etc.,

son iguales a0 o a nada, y que
+2-—5 es igual a —-3.
Esto es porque si una persona tiene 2 coronas y debe 3, no sólo no tiene nada, sino que aún
debe 3 coronas. De igual forma
7-12 es igual a —5 y 25-40 es igual a —15.

22. Las mismas observaciones se sostienen cuando, para generalizar la expresión,
utilizamos letras en lugar de números: O (o nada) siempre será el valor de +a=—a. Si
quisiésemos conocer el valor de + a— a debemos considerar dos casos.

El primero es cuando a es mayor que b; entonces debemos sustraer b de a, y el resto
(antes del cual se pone o se entiende el signo +) muestra el valor buscado.

El segundo caso es cuando a es menor que b; aquí debemos sustraer a de b, y el

resto, siendo negativo al poner antes que él el signo -, será el valor buscado.

CAPÍTULO IM
DE LA MULTIPLICACIÓN DE CANTIDADES SIMPLES

23. Cuando hay dos o más números iguales a ser añadidos, la expresión de su suma
puede ser abreviada. Por ejemplo,

a+a es lo mismo que 2xa,

a+az+a 3xa,

a+a+a+a 4xa, y así sucesivamente, donde x es el signo de la
multiplicación. De esta manera podemos formar una idea de la multiplicación, y debe
observarse que

2xa significa 2 veces a,

3xa 3 veces a,

4xa 4 veces a, etc.

24. Si, por lo tanto, un número expresado por una letra ha de ser multiplicado por
cualquier otro número, simplemente ponemos ese número antes de la letra, así

a multiplicado por 20 se expresa como 20a, y

b multiplicado por 30 30b, etc.

También es evidente que c tomada una vez, o lc, es simplemente c.

25. Además, es extremadamente fácil multiplicar estos productos por otros
números; por ejemplo:

2 veces 3a hace 6a,

3 veces 4b hace 12b,

5 veces 7x hace 33x,

y estos productos pueden, a su vez, multiplicarse por otros números a placer.

26. Cuando el número por el cual habremos de multiplicar también está
representado por una letra, lo ponemos inmediatamente antes de la otra letra; así, al
multiplicar b por a, el producto se escribe como ab, y pq será el producto de la
multiplicación del número q por p. Si multiplicamos otra vez este pg por a, obtendremos
apg.

27. Aquí ha de observarse que el orden en el cual unimos las letras es indiferente;
que ab es la misma cosa que ba, porque b multiplicado por a produce tanto como a
multiplicado por b. Para comprender esto, únicamente tenemos que sustituir por a y b
números conocidos como 3 y 4, y la verdad será evidente porque 3 veces 4 es lo mismo que
4 veces 3.

28. No será difícil percibir que cuando uno tiene que poner números en lugar de
letras unidas, tal como lo hemos descrito, aquellos no pueden escribirse de la misma
manera poniéndolos juntos uno después de otro, porque si fuésemos a escribir 34 para 3
veces 4, tendríamos 34 y no 12. Por consiguiente, cuando requerimos multiplicar números
comunes, debemos separarlos por el signo x o por puntos. Así, 3x4,0 3-4, significa 3
veces 4, esto es, 12. Por lo tanto, 1x2es igual a 2, y 1x2x3 hace 6. Igualmente
1x2x3x4x56 hace 1344, y 1x2x3x4x53x6x7x8x9x10 es igual a 3628800, etc.

29. De la misma manera, podemos descubrir el valor de una expresión de esta
forma: 5-7-8-abcd . Ésta muestra que 5 ha de ser multiplicado por 7, y que este producto

debe de nuevo multiplicarse por 8, y que después debemos multiplicar este producto de los

tres números por a, después por b, después por c, y por último por d. También debemos
observar que en lugar de 5x7x8 podemos escribir su valor, 280, porque obtenemos este
número cuando multiplicamos el producto de 5 por 7, o 35, por 8.

30. A los resultados que surgen de la multiplicación de dos o más números se les
llama productos, y alos números o letras individuales se les llama factores.

31. Hasta ahora sólo hemos considerado números positivos, y no puede haber duda
de que los productos que hemos visto surgir son también positivos: +a por +b
necesariamente debe dar +ab. Pero debemos examinar por separado lo que produce la
multiplicación de +a por —b y de —a por —b.

32. Comencemos por multiplicar —a por 3 (o +3). Ahora, como podemos
considerar —a como una deuda, es claro que si tomamos esa deuda tres veces deberá
hacerse tres veces más grande, y consecuentemente el producto requerido es — 3a . Así que
si multiplicamos — a por +b obtendremos —ba o, lo que es la misma cosa, — ab. De esto
concluimos que si se multiplica una cantidad positiva por una negativa, el producto será
negativo, y establecemos como regla que + por + hace +, o más, y que, por el contrario, +
por - o - por + hace -, o menos.

33. Queda por resolver el caso en donde multiplicamos - por - o, por ejemplo, — a
por —b. A primera vista es evidente que, con respecto a las letras, el producto será ab, pero
queda la duda de si debemos poner el signo + o el signo - antes del producto. Todo lo que
sabemos es que debe ser uno u otro de estos signos. Ahora, digo que no puede ser el signo -
porque —a por +b da —ab,y —a por —b no puede producir el mismo resultado que — a
por +b, sino que debe producir un resultado contrario, esto es, + ab. Consecuentemente,
tenemos la siguiente regla: - multiplicado por - produce + de la misma manera que +
multiplicado por + [produce +).

34. Podemos expresar las reglas expresadas más brevemente como sigue:

Signos iguales multiplicados juntos dan +; signos desiguales o contrarios dan -.
Así, cuando tenemos que multiplicar los números +a,—b,—c,+d , primero tenemos +a
multiplicado por —b, lo que da — ab; esto por —c da +abc, y esto por +d da +abcd .

35. Una vez eliminadas las dificultades relativas a los signos, sólo nos queda
mostrar cómo multiplicar números que son, por sí mismos, productos. Si, por ejemplo,

hubiésemos de multiplicar el número ab por el número cd, el producto sería abcd, y se

9

obtiene al multiplicar primero ab por c y después el resultado de tal multiplicación por d. O,
si tuviésemos que multiplicar 36 por 12, como 12 es igual a 3 veces 4, sólo debemos
multiplicar 36, primero por 3, y después el producto, 108, por 4, para tener el producto total
de la multiplicación de 12 por 36, que es, pues, 432.

36. Pero si quisiésemos multiplicar Sab por 3cd podríamos escribir 3cd x 3ab. Sin
embargo, como en este ejemplo el orden de los números ha ser multiplicados es indiferente,
será más conveniente, como suele hacerse, poner los números comunes antes que las letras
y expresar el producto así: 5x 3abcd , o 15abcd , porque 3 veces 3 es 15.

Así que si multiplicamos 12pgr por 7xy obtendremos 12x7 pgrxy, o 84 pgrxy .

CAPÍTULO IV
DE LA NATURALEZA DE LOS NÚMEROS ENTEROS
CON RESPECTO A SUS FACTORES

37. Hemos visto que un producto se genera por la multiplicación de dos o más
números y que a éstos se les llama factores. Así, los números a, b, c, d son los factores del
producto abcd.

38. Por lo tanto, si consideramos todos los números enteros como productos de dos
o más números multiplicados, pronto encontraremos que algunos no pueden resultar de tal
multiplicación, y que consecuentemente no tienen factores; mientras que otros pueden ser
los productos de dos o más [números] multiplicados, y que consecuentemente tienen dos o
más factores. De esta forma, 4 es producido por 2x2, 6 por 2x3, 8 por 2x2x2, 27 por
3x3x3,10 por 2x5, etc.

39. Por otro lado, los números 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc., no pueden ser
representados de la misma manera por factores, a menos que para tal propósito recurramos
a la unidad y representemos 2, por ejemplo, como 1x2. Pero en los números que son
multiplicados por 1 y permanecen iguales no es apropiado reconocer la unidad como un
factor.

Es así que a todos los números como 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc., que no pueden ser

representados por factores, se les llama [números] simples o números primos, mientras que

10

a otros como 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, etc., que pueden ser representados por
factores, se les llama números compuestos.

40. Los números simples O primos requieren una atención especial, porque no
resultan de la multiplicación de dos o más números. Es particularmente digno de observar
que si escribimos estos números en sucesión a medida que se siguen unos de otros, así:

2,3,5,7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, etc.,
no podemos rastrear un orden regular; sus incrementos a veces son más grandes, a veces
menos, y hasta ahora nadie ha podido descubrir si siguen una cierta ley o no.

41. Todos los números compuestos, que pueden ser representados por factores,
resultan de los números primos ya mencionados; esto es, todos sus factores son números
primos. Si encontramos un factor que no sea un número primo, siempre puede ser
descompuesto y representado por dos o más números primos. Cuando hemos representado
al número 30, por ejemplo, como 3x6, es evidente que 6 no es un número primo, pero al
estar producido por 2x3, podemos representar 30 por 5x2x3 o por 2x3x5; es decir,
por factores que son todos números primos.

42. Si ahora consideramos aquellos números compuestos que se pueden resolver en
números primos, notaremos una gran diferencia entre ellos; encontraremos que algunos
sólo tienen dos factores, que otros tienen tres, y que otros un número aún mayor. Ya hemos
visto, por ejemplo, que

4 es lo mismo que 2x2,

6 2

8 2x2x2,

9 3x3,

10 2x5,

12 2x3x2,

14 2x7,

¡5 IDE

16 2x2x2x2, y así sucesivamente.

43. Por consiguiente, es fácil encontrar un método para analizar o resolver cualquier
número en sus factores simples. Propongamos el número 360, por ejemplo. Primero lo

representaremos por 2x 180. Ahora bien, 180 es igual a 2x90, y

11

90] es lo mismo que [2x45,
45) [3x15, y por último
133 33,
Así que el número 360 puede ser representado por estos factores simples: 2x2x2x3x3x5, ya
que todos estos números multiplicados producen 360.

44. Esto muestra que los números primos no pueden ser divididos entre otros
números y, por otra parte, que los factores simples de los números compuestos se
encuentran, más conveniente y certeramente, al buscar los números simples o primos entre
los cuales son divisibles tales números compuestos. Pero para esto es necesaria la división,

así que en el siguiente capítulo explicaremos las reglas de tal operación.

CAPÍTULO V
DE LA DIVISIÓN DE CANTIDADES SIMPLES

45. Cuando un número ha de ser separado en dos, en tres, o en más partes iguales,
se hace por medio de la división, que nos permite determinar la magnitud de una de tales
partes. Cuando queremos, por ejemplo, separar el número 12 en tres partes iguales
descubrimos, por medio de la división, que cada una de tales partes es igual a 4.

En esta operación se hace uso de los siguientes términos. Al número a ser
descompuesto o dividido se le llamada dividendo; al número de partes iguales buscado se
le llama divisor, y a la magnitud de una de tales partes, determinada por la división, se le
llama cociente. Así, en el ejemplo de arriba:

12 es el dividendo,
3 es el divisor, y
4 es el cociente.

46. De esto se sigue que si dividimos un número entre 2, o en dos partes iguales,
una de tales partes, o el cociente, tomada dos veces produce exactamente el número
propuesto. De la misma manera, si tenemos un número a ser dividido entre 3, el cociente
tomado tres veces debe dar el mismo número otra vez. Por lo general, la multiplicación del

cociente por el divisor siempre reproduce el dividendo.

12

47. Es por esto que de la división se dice que es una regla que nos enseña a
encontrar un número o cociente que, al ser multiplicado por el divisor, producirá
exactamente el dividendo. Por ejemplo, si 35 ha de ser dividido entre 5, buscamos un
número que multiplicado por 5 produzca 35. Este número es 7, porque 5 veces 7 es 35. La
forma de expresión empleada en este razonamiento es: 5 en 35, 7 veces; y 5 veces 7 hace
3

48. El dividendo, por lo tanto, puede ser considerado como un producto del cual
uno de los factores es el divisor y el otro el cociente. Así, suponiendo que tenemos 63 a ser
dividido entre 7, tratamos de encontrar un producto tal que, tomando 7 por uno de sus
factores, el otro factor multiplicado por éste dé exactamente 63. 7x9 es tal producto, y
consecuentemente 9 es el cociente obtenido cuando dividimos 63 entre 7.

49. Por lo general, si tenemos que dividir un número ab entre a, es evidente que el
cociente será b, porque a multiplicado por b da el dividendo ab. También es claro que si
tenemos que dividir ab entre b el cociente será a. Y en todos los ejemplos de la división
podemos proponer que si dividimos el dividendo entre el cociente obtendremos el divisor,
porque como 24 dividido entre 4 da 6, 24 dividido entre 6 dará 4.

50. Como toda la operación consiste en representar el dividendo por dos factores,
de los cuales uno puede ser igual al divisor y el otro al cociente, los siguientes ejemplos
serán fácilmente comprendidos. En primer lugar, digo que el dividendo abc, dividido entre
a, da bc, porque a multiplicado por bc produce abc; de igual forma abc dividido entre b da
ac, y abc dividido entre ac da b. También digo que 12mn dividido entre 3m da 4n, porque
3m multiplicado por 4n da 12mn. Pero si el mismo número 12mn hubiese sido dividido
entre 12, habríamos obtenido el cociente mn.

51. Como todo número a puede ser expresado por la o un a, es evidente que si
tuviésemos que dividir a o la entre 1, el cociente sería el mismo número a. Pero, por el
contrario, si el mismo número a o la ha de ser dividido entre a, el cociente será 1.

52. A menudo sucede que no podemos representar el dividendo como el producto
de dos factores de los cuales uno es igual al divisor, y entonces la división no puede ser
llevada a cabo de la manera descrita.

Cuando tenemos, por ejemplo, 24 a ser dividido entre 7, es obvio a primera vista

que el número 7 no es un factor de 24, porque el producto de 7x3 es sólo 21, y

13

consecuentemente muy pequeño, y 7x4 hace 28, que es mayor que 24. De esto, sin
embargo, descubrimos que el cociente debe ser mayor que 3 y menor que 4. Para poder
determinarlo de manera exacta empleamos otra especie de números llamados fracciones,
que consideraremos en uno de los siguientes capítulos.

53. Hasta que consideremos el uso de las fracciones, es habitual quedarse satisfecho
con el número entero que más se acerca al cociente verdadero, pero prestando atención al
mismo tiempo al residuo que queda. Así, decimos que 7 en 24 son 3 veces, y el residuo es
3 porque 3 veces 7 produce sólo 21, que es 3 menos que 24. De igual forma podemos
considerar los siguientes ejemplos:

6) 34 (5
30
4
Esto es, el divisor es 6, el dividendo 34, el cociente 5, y el residuo 4.
9) 41 (4
36
5
Aquí el divisor es 9, el dividendo 41, el cociente 4, y el residuo 5.

La siguiente regla ha de observarse en los ejemplos en donde haya un residuo.

54. Si multiplicamos el divisor por el cociente, y añadimos el residuo a este
producto, obtendremos el dividendo. Este es el método de probar la división y de descubrir
si el cálculo es correcto o no. De esta forma, en el primero de los dos ejemplos anteriores,
si multiplicamos 6 por 3 y añadimos el residuo 4 al producto 30 obtendremos 34 o el
dividendo. Y en el segundo ejemplo, si multiplicamos el divisor 9 por el cociente 4 y
añadimos el residuo 5 al producto 36 obtendremos el dividiendo 41.

55. Por último, es necesario remarcar que, con respecto a los signos + más y -
menos, si dividimos +ab entre +a, el cociente será, evidentemente, +b. Pero si
dividimos +ab entre —a el cociente será —b, porque —ax-b da +ab. Si el dividendo
es —ab y ha de ser dividido entre el divisor +a, el cociente será —b, porque —b
multiplicado por +a da — ab. Por último, si tenemos que dividir el dividendo — ab entre
el divisor —a, el cociente será +b, porque el dividendo —ab es el producto de —a por

+b.

14

56. Por lo tanto, con respecto a los signos + y -, la división admite las mismas
reglas que hemos visto aplicadas en la multiplicación, a saber:

+ por + requiere +; + por - requiere -;

- por + requiere -; - por - requiere +.
En pocas palabras, signos iguales dan más, signos desiguales dan menos.
57. Así, cuando dividimos 18pg entre —3p, el cociente es — 6q . Más lejos:

—30xy dividido entre +6y da —5x, y

—54abc dividido entre —9b da +6ac,
porque en este último ejemplo —9 multiplicado por + 6ac hace —6x9abc, o —5S4abc. Ya
hemos dicho lo suficiente sobre la división de cantidades simples, así que nos
apresuraremos a la explicación de las fracciones después de hacer unas cuantas

observaciones sobre la naturaleza de los números con respecto a sus divisores.

CAPÍTULO VI
DE LAS PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS
CON RESPECTO A SUS DIVISORES

58. Ya hemos visto que algunos números son divisibles entre ciertos divisores y que
otros no lo son, y para poder obtener un conocimiento más particular de los números
debemos observar cuidadosamente esta diferencia, tanto al distinguir los números
divisibles entre divisores de los que no lo son, como al considerar el residuo que queda en
la división de los últimos. Para este propósito examinemos los divisores:

2,3, 4,5, 6,7, 8, 9, 10, etc.

59. Primero, sea 2 el divisor; los números divisibles por él son 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,
16, 18, 20, etc., que, al parecer, se incrementan siempre por 2. Estos números, en la medida
en que se puede continuar, son llamados números pares. Pero hay otros números, a saber,

1130 7 MLS, 10. 1919. ct:
que son uniformemente menores o mayores que los primeros por una unidad, y que no
pueden ser divididos entre 2 sin el residuo 1; a estos números se les llama números nones.

Todos los números pares están comprendidos en la expresión general 2a, porque

todos se obtienen al sustituir sucesivamente por a los enteros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, etc., y de

15

aquí se sigue que todos los números nones están comprendidos en la expresión 2a+1,
porque es mayor por una unidad que el número par 2a .
60. Segundo, sea 3 el divisor. Los números divisibles por él son 3, 6, 9, 12, 15, 18,
21, 24, 27, 30, etc., y estos números pueden representarse por la expresión 3a , porque 3a
dividido entre 3 da el cociente a sin ningún residuo. Todos los otros números a dividirse
entre 3 darán 1 o 2 como residuo, y son consecuentemente de dos tipos. Aquellos que
después de la división dejan 1 como residuo son:
1, 4,7, 10, 13, 16, 19, etc.
Estos números están contenidos en la expresión 3a+1. El otro tipo, en donde queda 2
como residuo, es
2, 5,8, 11, 14, 17, 20, etc.
Estos números pueden ser expresados generalmente por 3a +2, de tal forma que todos los
números pueden ser expresados por 3a,o por 3a+1,o por 3a+2.
61. Ahora supongamos que 4 es el divisor; los números que divide son
4, 8, 12, 16, 20, 24, etc.
Estos números aumentan uniformemente por 4, y están comprendidos en la expresión 4a.
Todos los otros números, esto es, aquellos que no son divisibles entre 4, pueden dejar 1
como residuo o ser mayores que los [números] anteriores por 1, como en:
159.13 14:21, 25, 6t6,
Consecuentemente, están comprendidos en la expresión 4a+1. También pueden dejar 2
como residuo, como en
2, 6, 10, 14, 16, 18, 22, 26, etc.
Éstos estarán expresados por 4a +2. O, por último, pueden dejar 3 como residuo, como en
37 117 15,19,23,275 8016;
Éstos estarán representados por la expresión 4a +3.
Todos los números enteros posibles están, por lo tanto, contenidos en una u otra de
estas cuatro expresiones:

4a,4a+14a+2,4a+3.

62. Sucede casi lo mismo cuando el divisor es 3, porque todos los números que
pueden ser divididos entre él están comprendidos en la expresión 5a, y aquellos que no

pueden ser divididos entre 5 son reducibles a una de las siguientes expresiones:

16

5a+15a+2,54+3,54 +4.

Podemos seguir de la misma manera y considerar los divisores más grandes.

63. Es apropiado recordar aquí lo que se ha dicho sobre la resolución de números en
sus factores simples, porque todo número entre cuyos factores se encuentra 2,03,04,05,
o 7, O cualquier otro número, será divisible por tales números. Por ejemplo, 60 siendo igual
a 2x2x3x5,es evidente que es divisible entre 2, y entre 3, y entre 5.

64. Además, como la expresión general abcd no es sólo divisible entre a, y entre b,
y entre c, y entre d, sino también entre ab, ac, ad, bc, bd, cd, y entre abc, abd, acd, bed, y
por último entre abcd, esto es, por su propio valor, se sigue que 60 o 2x2x3x53 puede ser
dividido no sólo por estos números simples, sino también por aquellos que están
compuestos por dos de ellos, es decir, por 4, 6, 10, 15, y también por aquellos que están
compuestos por tres factores simples, esto es, por 12, 20, 30, y por último, también por el
propio 60.

65. Por lo tanto, cuando hemos representado cualquier número asumido a placer
por sus factores simples, será muy fácil mostrar todos los números por los cuales es
divisible. Para esto sólo tenemos, primero, que tomar los factores simples uno por uno, y
después multiplicarlos dos por dos, tres por tres, cuatro por cuatro, etc., hasta que
lleguemos al número propuesto.

66. Debe ser particularmente observado que todo número es divisible entre 1, y
también que todo número es divisible entre sí mismo, así que todo número tiene por lo
menos dos factores o divisores: el propio número y la unidad. Pero todo número que no
tiene otro divisor excepto estos dos pertenece a la clase de números que antes hemos
llamado simples o primos.

Excepto estos últimos, todos los otros números tienen, además de la unidad y de sí
mismos, otros divisores, tal como puede verse en la siguiente tabla en donde están puestos,

bajo cada número, todos sus divisores.

17

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |11 [12 [13 [14 | 15 | 16 |17 | 18 | 19 |20
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 5 2 7 2 3 2 11 ¡2 13 |2 3 2 17 12 19 12
4 3 4 9 5 3 7 5 4 3 4
6 8 10 4 14 |15 |8 6 5

6 16 9 10

12 18 20
1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 2 6 2 4 4 5 2 6 2 6

PI P|P P P P Po P P

67. Por último, debemos notar que 0, o nada, puede considerarse como un número
que tiene la propiedad de ser divisible por todos los números posibles, porque por cualquier
número a que dividamos O, el cociente siempre es 0; para esto debe observarse que la
multiplicación de cualquier número por nada produce nada, y por tanto O veces a, o Oa, es

0.

CAPÍTULO VII
DE LAS FRACCIONES EN GENERAL

68. Cuando de un número, como 7 por ejemplo, se dice que no es divisible por otro
número, supongamos por 3, esto sólo significa que el cociente no puede ser expresado por
un número entero, y no debe pensarse de ninguna manera que es imposible formarse una
idea de tal cociente. Únicamente imaginemos una línea de 7 metros de longitud, y nadie
pondrá en duda la posibilidad de dividir esta línea en tres partes iguales y de formarse una
noción de la longitud de una de estas partes.

69. Como podemos formarnos una idea precisa del cociente obtenido en casos
similares, aun cuando ese cociente no sea un número entero, esto nos lleva a considerar una
especie de números particular, llamados fracciones o números quebrados. El ejemplo

anterior nos proporciona un ejemplo. Si tenemos que dividir 7 entre 3, concebimos
PE y 7 E Ds
fácilmente el cociente que ha de resultar y lo expresamos como 3” poniendo el divisor

bajo el dividendo y separando ambos números por un trazo o línea.

18

70. Así, por lo general, cuando el número a ha de ser dividido entre el número b,

. a sd Di
representamos el cociente por p y llamamos fracción a esta forma de expresión. Por

oO dotada esoo Ed E
consiguiente, no podemos ofrecer una mejor idea de una fracción > que diciendo que así

expresamos el cociente resultante de la división del número de arriba por el de abajo.
También debemos recordar que en todas las fracciones al número de abajo se le llama

denominador y al de arriba de la línea numerador.

a al , ;
71. En la fracción 3 que leemos como siete tercios, 7 es el numerador y 3 el
. e 2 Ñ 3 3
denominador. También debemos leer 3 como dos tercios, 4 como tres cuartos, $ como

12 me 1 y
tres Octavos, 0 como doce centésimos, y 3 como un medio.

72. Para obtener un conocimiento más perfecto de la naturaleza de las fracciones,

debemos comenzar por considerar el caso en donde el numerador es igual al denominador,

a . j O ;
como en —. Ahora, como esto expresa el cociente obtenido al dividir a entre a, es evidente
a

S . o
que este cociente es exactamente una unidad, y que consecuentemente la fracción — es
a

234356 7.8 E
22345678”

igual a 1 o a un entero. Por la misma razón, todas las fracciones tc.,

son iguales entre sí, cada una siendo igual a 1 o a un entero.

73. Hemos visto que una fracción cuyo numerador es igual al denominador es igual
a una unidad. Por lo tanto, todas las fracciones cuyos numeradores son menores que los
denominadores tienen un valor menor que una unidad, porque si tengo un número a ser
dividido entre otro que es mayor, el resultado necesariamente debe ser menor que 1. Si

cortamos una línea de dos metros de largo, por ejemplo, en tres partes, una de tales partes
e 2 Z
será innegablemente menor que un metro. Es evidente, pues, que a es menor que 1 por la

misma razón que el numerador 2 es menor que el denominador 3.

19

74, Si, por el contrario, el numerador es mayor que el denominador, el valor de la

e S , Ea 2 O Ze
fracción será mayor que una unidad. Así, > es mayor que 1 porque 3 es igual a > junto

1 2, 3 . 1 ¿
con o Ahora, > es exactamente 1, y consecuentemente > es igual a 1+ E es decir, un

entero y un medio. De igual manera, : es igual a L ; z a Es , y y a 2 . Por lo general,

3 3 a)

en estos casos es suficiente con dividir el número de arriba entre el de abajo y después

añadir al cociente una fracción que tenga al residuo como numerador y al divisor como

denominador. Si la fracción dada fuese, por ejemplo, = , tendríamos 3 como cociente y 7

como residuo, de donde concluimos que a es lo mismo que 35 .

75. Es así que vemos cómo las fracciones cuyos numeradores son mayores que los
denominadores son resueltas en dos números: uno de ellos es un entero y el otro un número
fraccionario teniendo un numerador menor que el denominador. A tales fracciones, como
contienen uno o más enteros, se les llama fracciones impropias para distinguirlas de las
fracciones propiamente dichas que, teniendo un numerador menor que el denominador, son
menores que una unidad o que un entero.

76. La naturaleza de las fracciones es frecuentemente considerada de otra manera

que puede arrojar más luz a la cuestión. Si consideramos, por ejemplo, la fracción y es

h 1 ; O, IAE y
evidente que es tres veces mayor que ve Ahora bien, esta fracción 7 significa que si
dividimos 1 en 4 partes iguales, este será el valor de una de tales partes; es obvio, pues, que

al tomar 3 de tales partes tendremos el valor de la fracción : ,

De la misma forma podemos considerar cualquier otra fracción; por ejemplo, —

Si dividimos la unidad en 12 partes iguales, 7 de tales partes serán iguales a la fracción

propuesta.

20

77. Las expresiones numerador y denominador derivan de esta forma de considerar
4 b) 7 , , ,
las fracciones, porque como en la fracción precedente 5 el número bajo la línea muestra

que 12 es el número de partes en las cuales ha de ser dividida la unidad, y como podría
decirse que denota o nombra las partes, no ha sido impropiamente llamado denominador.
Además, como el número de arriba, a saber, 7, muestra que para poder tener el
valor de la fracción debemos tomar o recoger 7 de sus partes, y por lo tanto puede decirse
que las cuenta o las numera, se ha considerado adecuado llamar numerador al número

arriba de la línea.

78. Debido a que es fácil comprender qué son - cuando conocemos el significado

1 ; Ñ ,
de a podemos considerar a las fracciones cuyo numerador es la unidad como el

ON E AS A: O ANS CA E IE
23"4"5'6'7'8'9'10'11'12”

fundamento de todas las demás. Tales son las fracciones

etc., y debe observarse que estas fracciones siguen disminuyendo continuamente, porque

entre más se divida un entero, o entre mayor sea el número de partes en el que se

e 1
distribuye, menor se vuelve cada una de tales partes. De esta manera, 100 es menor que

E es menor que ——, y es menor que ;
10” 1000 100 ” 10000 1000

79. Como hemos visto que entre más aumentemos el denominador de tales
fracciones menores se vuelven sus valores, podría preguntarse si no es posible hacer tan
grande al denominador como para que la fracción se reduzca a nada. Yo respondo que no,
porque sin importar el número de partes en el que se divida la unidad (la longitud de un
metro, por ejemplo), y sin importar qué tan pequeñas sean, siempre conservarán una cierta
magnitud, y por lo tanto nunca pueden reducirse absolutamente a nada.

80. Es cierto que si dividimos la longitud de un metro en 1000 partes, tales partes
no caerán fácilmente bajo el conocimiento de nuestros sentidos, pero vistas a través de un
buen microscopio cada una de ellas nos parecerá lo suficientemente grande como para ser

subdividida en 100 partes más, y aún en más.

21

Sin embargo, actualmente no tenemos nada que ver con lo que depende de nosotros,
o con lo que somos capaces de realizar y con lo que nuestros ojos pueden percibir, así que
la cuestión tiene que ver más bien con lo que es posible en sí mismo. Y en este sentido de
la palabra es verdad que, no importa qué tan grande supongamos al denominador, la
fracción nunca desaparecerá por completo, o nunca será igual a 0.

81. Por lo tanto, nunca llegaremos completamente a nada, no obstante qué tan
grande sea el denominador, y como tales fracciones siempre conservarán una cierta
cantidad, podemos continuar la serie de fracciones del artículo 78 sin interrupción alguna.
Esta circunstancia ha introducido la expresión de que el denominador debe ser infinito, O
infinitamente grande, para que la fracción se reduzca a O o a nada; y la palabra infinito en
realidad significa aquí que nunca llegaremos al final de la serie de las fracciones arriba
mencionadas.

82. Para expresar esta idea, extremadamente bien fundamentada, hacemos uso del

signo co que consecuentemente indica un número infinitamente grande, y por tanto

ego MH : : z
podemos decir que la fracción — es en realidad nada, por la misma razón de que una
00

fracción no puede reducirse a nada hasta que el denominador haya sido incrementado hasta
el infinito.

83. Es muy necesario prestar atención a esta idea del infinito porque deriva de los
primeros fundamentos de nuestro conocimiento y porque será de mucha importancia en la
siguiente parte de este tratado.

De ella podemos deducir unas cuantas consecuencias que resultan extremadamente

curiosas y dignas de atención. La fracción — representa el cociente que resulta de la
00

división del dividendo 1 entre el divisor co. Ahora, sabemos que si dividimos el dividendo

l 1 , 7 £

1 entre el cociente —, que es igual a O, obtenemos de nuevo el divisor vo; desde aquí
00

adquirimos una nueva idea del infinito. Aprendemos que surge de la división de 1 entre 0,
y por tanto tenemos derecho a decir que 1 dividido entre O expresa un número
infinitamente grande, o oo,

84. En este momento es necesario corregir el error de aquellos que sostienen que un

número infinitamente grande no es susceptible de aumento. Esta opinión es inconsistente

22

con los principios que hemos establecido, porque 0 significando un número infinitamente

DE . 1 ' p
grande, y 0 siendo incontestablemente el doble de 0 , es evidente que un número, aunque

infinitamente grande, puede ser dos o más veces más grande.

CAPÍTULO VIII
DE LAS PROPIEDADES DE LAS FRACCIONES

2345678
TESLEATR

85. Ya vimos que cada una de las fracciones etc., produce un

entero, y que consecuentemente todas son iguales entre sí. La misma igualdad existe en las

246810 12
17273456

siguientes fracciones, , Cada una produciendo dos enteros, porque el

numerador de cada una dividido entre su denominador da 2. Así también todas las

z 360912 15 18 : , 5
fracciones , etc., son iguales entre sí porque 3 es su valor común.

1273456

86. De igual forma podemos representar el valor de cualquier fracción en una
infinita variedad de formas, porque si multiplicamos tanto al numerador como al
denominador de una fracción por el mismo número asumido a placer, esta fracción
conservará el mismo valor. Es por esto que todas las fracciones
12345 6 7 8 9 10
2"4"6'8'10'12'14'16 1820”

., 123450678910 , ;
También 232002» > etc. son fracciones iguales, porque el valor de
36912 15 18 21 24 27 30
24 8 10 12 14 16

1 ñ . >
cada una es —. Las fracciones —>,>,==>=»=»=»,» etc., tienen igualmente todas el
3 3612 15 18 21 24

; 1
etc., son iguales, porque el valor de cada una es A

¿ - ' O
mismo valor, y es así que podemos concluir que, por lo general, la fracción ” puede ser

E E : a
representada por las siguientes expresiones, cada una siendo igual a Pe

a 2a 3a 4a 5a 6a Ta die
b'2b”3b” 4b” 5b* 6b" 7b”

23

87. Para convencernos de esto únicamente tenemos que escribir, para el valor de la
ed : ces
fracción p una cierta letra c que represente el cociente de la división de a entre b, y

recordar que la multiplicación del cociente c por el divisor b debe dar el dividendo [a].
Como c multiplicado por b da a, es evidente que c multiplicado por 2b debe dar 2a, que c
multiplicado por 3b dará 3a y que, por lo general, c multiplicado por mb debe dar ma.
Ahora, cambiando esto a un ejemplo de la división, y dividiendo el producto ma entre mb,

uno de los factores, el cociente, debe ser igual al otro factor c; pero ma dividido entre mb

e ., ma z
también produce la fracción ra que es consecuentemente igual a c, y esto es lo que
m

a

habríamos de probar, porque habiendo asumido a c como el valor de la fracción —, es

=

A ES ¿ di MA Cs a
evidente que esta fracción es igual a la fracción pe sin importar cuál sea el valor de m.
m

88. Hemos visto que toda fracción puede ser representada en un número infinito de
formas, cada una de las cuales contiene el mismo valor, y es claro que de todas estas

formas, aquellas que estén compuestas de los números menores serán más fácilmente

comprendidas. Por ejemplo, podríamos sustituir 3 por las siguientes fracciones,

46 8 10 12
6'9'12*15'18

formarse una idea. Aquí, por lo tanto, surge un problema: ¿cómo puede una fracción como

] Z Endesa
, etc., pero de todas estas expresiones, 3 es aquella de la cual es más fácil

8 É A , ; £
ms que no está expresada por los números menores posibles, reducirse a su forma más

j j e , 2
simple, o a sus términos mínimos, esto es, en nuestro ejemplo, a E ?

89. Es fácil resolver este problema si tomamos en cuenta que una fracción conserva
su valor cuando multiplicamos ambos de sus términos, o su numerador y su denominador,
por el mismo número. De esto se sigue que si dividimos el numerador y el denominador de

una fracción por el mismo número, la fracción conservará el mismo valor. Esto se hace

a dE ¿ A ma ads
más evidente por medio de la expresión general e. porque si dividimos el numerador ma
m

24

a

y el denominador mb entre el número m, obtenemos la fracción —, que es igual, tal como

=

ma
ya probamos, a ——.
m

90. Por lo tanto, para reducir una fracción dada a sus términos menores requerimos
encontrar un número por el cual puedan dividirse tanto el numerador como el
denominador. A tal número se le llama divisor común, y siempre que podamos encontrar
un divisor común para el numerador y para el denominador, es cierto que podremos reducir
una fracción a su forma más baja; pero, por el contrario, si vemos que excepto por la
unidad, no se encuentra ningún otro divisor común, esto muestra que la fracción ya se

encuentra en su forma más simple posible.

. , 48 .
91. Para aclarar esto, consideremos la fracción Do Inmediatamente vemos que
es o do DA
ambos términos son divisibles por 2, y que de ello resulta la fracción PTN Entonces puede
bnsicia ' 12 > e
ser dividida de nuevo entre 2 y ser reducida a 30 y esto también, al tener 2 como divisor

, l 6 ads e
común, puede reducirse a 15 Pero ahora fácilmente percibimos que el numerador y el
denominador son todavía divisibles por 3, y al realizar esta división obtenemos la fracción
E que es igual a la fracción propuesta y que da la expresión más simple a la que puede

reducirse, porque 2 y 3 no tienen ningún divisor común excepto 1, que de ninguna manera
puede disminuir más estos números.

92. Esta propiedad de que las fracciones conservan un valor invariable sin importar
si dividimos o multiplicamos el numerador y el denominador por el mismo número es de
suma importancia, y es el fundamento principal de la doctrina de las fracciones. Por
ejemplo, apenas podemos sumar dos fracciones, o restar una de la otra, si antes no las
hemos reducido, por medio de esta propiedad, a sus otras formas, esto es, a expresiones
cuyos denominadores son iguales. De esto trataremos en el siguiente capítulo.

93. Concluimos el presente capítulo observando que todos los números enteros

E z ; > 6
también pueden representarse por fracciones. Por ejemplo, 6 es lo mismo que A porque 6

23

dividido entre 1 da 6; y de igual forma podemos expresar el número 6 por las fracciones

12 18 24 36 > as , , :
23 e , €tc., y por un número infinito de otras [fracciones] que tienen el mismo
valor.

CAPÍTULO IX
DE LA ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES

94. Cuando las fracciones tienen denominadores iguales, no hay dificultad alguna
a A O: IS de
en añadirlas y sustraerlas, porque E + = es igual a 7? y aa es igual a a En este caso,

ya sea para la adición O para la sustracción, únicamente alteramos los numeradores y

9 12 15.20
+ + es
100 100 100 100 100

9. 24: DA 3 36 18 16 3 11 14
, + es igual a oa : sE
100. 50 50 50 50 50 25 20 20 20 20

ponemos el denominador común debajo de la línea, así:

igual a A a
E 220

4 E LINA y 3 . 2.3 1 y 0
oa —,también +“ es igual a — oa l, es decir, a un entero, y ——+- es igual a —,
5 3-3 3 4 4 4 4

esto es, a nada o a 0.
95. Pero cuando las fracciones no tienen denominadores iguales, siempre podemos

transformarlas en otras fracciones que tengan el mismo denominador. Por ejemplo,

; 1 1 , 1 h
cuando se propone sumar las fracciones a y 3 debemos considerar que a es lo mismo
3 1 y 2 ;
que 6 y que 3 es equivalente a rl tenemos, por tanto, en lugar de las dos fracciones

3 dd a g E
propuestas, estas dos —+ 6 cuya suma es PE Si las dos fracciones estuviesen unidas por

O

D|w
D|=

. 1 1 y 3
el signo menos, como en > 3 tendríamos 6 —

z h E 3 ; 6
Otro ejemplo: sean las fracciones propuestas 4 + 3 ; Como 4 es lo mismo que $?

podemos sustituir este valor por aquél y decir que : + - da z O 1

26

E ES 1 ¿ 7
Supongamos también que se requiriese la suma de , y —. Yo digo que es 7

ÉS

orque l hace z l hace Es
ESOS 124 12

96. Podemos tener un número mayor de fracciones a ser reducidas a un
- E ; 1
denominador común; por ejemplo, —,—,=—,—,—:; en este caso, todo depende de encontrar

un número que sea divisible por todos los denominadores de tales fracciones. Aquí 60 es
el número que tiene esa propiedad, y consecuentemente se vuelve el denominador común.

Tendremos, por tanto, 2 en lugar de A Ese en lugar de =N huso en lugar de EN ne en
60 2.60 360 4 60

lugar de Ss y > en lugar de >. Si requerimos sumar todas estas fracciones

30 40 45 48 50
60606060 * 60

, Sólo tenemos que sumar todos los numeradores y poner bajo la

suma el denominador común 60, esto es, tendremos eN O tres enteros y pe O ao

20
97. Toda esta operación consiste, como antes dijimos, en transformar dos fracciones

cuyos denominadores son distintos en otras dos cuyos denominadores sean iguales. Para

: a € A .

realizar esto de forma general, sean A y 7 las fracciones propuestas. Primero,
sde E ; eS ., ad

multipliquemos los dos términos de la primera fracción por d, y tendremos la fracción bd

. a ñ Los a Al

igual a E después multipliquemos los dos términos de la segunda fracción por b, y

: bc :
tendremos un valor equivalente expresado por bd ; de esta forma, los dos denominadores

se han vuelto iguales. Ahora, si se requiriese la suma de las dos fracciones propuestas,

: e A C i , Ñ
inmediatamente responderíamos que es , y si se nos preguntara su diferencia

a]

pi ad — bc
diríamos que es

: y A : 5
. Si se propusiesen, por ejemplo, las fracciones 3 y —-,

NO

z 45 56 . 101 ; eE |
obtendríamos en su lugar —— y =—, cuya suma sería —— y la diferencia ——.
EP TZ

2d

98. A esta parte del tema pertenece la cuestión de entre dos fracciones propuestas,
cuál es la mayor o la menor, porque para resolver esto sólo tenemos que reducir las dos

) ) ; : j Za 0
fracciones al mismo denominador. Tomemos, por ejemplo, las dos fracciones 3 y e

cuando las reducimos al mismo denominador, la primera se vuelve > y la segunda > , y
: En 3 E 1
es evidente que la segunda fracción, O a es la mayor, y que excede a la primera por a
j ES) sd
De nuevo, sean las dos fracciones propuestas 5 y Si Tendremos que sustituir por

24 25 E ó 5 5 A
ellas 40 y 40” respectivamente. De esto podemos concluir que 3 excede a 5 pero sólo

Or —.
Po 40

99. Cuando se requiere sustraer una fracción de un entero, es suficiente con
cambiar una de las unidades del entero en una fracción que tenga el mismo denominador

que el de aquella que ha de ser sustraída; en el resto de la operación no hay dificultad

alguna. Si se requiriese, por ejemplo, sustraer : de 1, escribimos : en lugar de 1 y
j 2 A | ES, A ed
decimos que — tomados de — deja — como resto. Así, —— sustraído de 1 deja —.
3 3 2] 12 12
E des a sino 4 ; a
Si se requiriese sustraer > de 2, escribimos 1 y 7 en lugar de 2, e inmediatamente

y 1
veremos que después de la sustracción debe quedar 1 ;

100. A veces también sucede que, habiendo sumado dos o más fracciones,
obtenemos más de un entero, esto es, un numerador mayor que el denominador. Este es un
caso que ya ha ocurrido y que merece nuestra atención.

En el artículo 96 encontramos, por ejemplo, que la suma de las cinco fracciones

1234 5 213 33 11
==>, Y — €s , y observamos que el valor de esta suma es 3 enteros y =- 0 ——.
2345 6 60 60 20
De igual forma a + = O S + z da y ol = . Únicamente tenemos que realizar la
3 4 12 12 12 12

28

división real del numerador entre el denominador, ver cuántos enteros hay para el cociente,
y establecer el resto. Casi lo mismo debe hacerse al sumar números compuestos de enteros

y fracciones, y si su suma produce uno o más enteros, éstos se suman a los otros enteros.
1 A ls 472
Propongamos, por ejemplo, sumar e y E primero tomamos la suma de a y 7,0 de

S y a . Es : O 12, y entonces la suma total es Go

6" 6

CAPÍTULO X
DE LA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES

101. La regla para la multiplicación de una fracción por un número entero es

multiplicar el namerador sólo por el número dado y no cambiar el denominador, así:

2 veces ES da E o l entero;
2 2

PR
3 3

da a
6 6 2

4 veces z da SM
12 12 12 3

Pero en lugar de esta regla, podemos utilizar la de dividir el denominador entre el

entero dado, y esto, cuando puede hacerse, es preferible porque acorta la operación.

Requiérase, por ejemplo, multiplicar 9 por 3; si multiplicamos el numerador por el entero
24 ; 8 ñ ñ
dado obtenemos e que debemos reducir a ES Pero si no cambiamos el numerador y
o , ¿ E 8 Z
dividimos el denominador entre el entero, inmediatamente encontramos — o 2— para el

producto dado. Igualmente, 5 multiplicado por 6 da = O A

29

102. Por lo general, el producto de la multiplicación de una fracción o por c es a

, y debe observarse que cuando el entero es exactamente igual al denominador, el

producto debe ser igual al numerador. Así que

y tomado dos veces da 1;

NN

— tomado tres veces da 2;

UD Uu

— tomado 4 veces da 3.

ÉS

Y, por lo general, si multiplicamos la fracción A por el número b, el producto debe

a E

ser a, tal como hemos mostrado, porque como » expresa el cociente que resulta de la

división del dividendo a entre el divisor hb, y como hemos demostrado que el cociente
24 7 s me a a sde?

multiplicado por el divisor dará el dividendo, es evidente que 5 multiplicado por b debe

producir a.
103. Hemos mostrado cómo ha de multiplicarse un fracción por un entero;
consideremos ahora cómo ha de dividirse una fracción entre un entero. Para esta

indagación es necesario que antes procedamos a la multiplicación de fracciones por

E a sito 2 |
fracciones. Es claro que si tenemos que dividir la fracción 3 entre 2 el resultado será 3 y

: O ran ca 2 Dal
que el cociente de E dividido entre 3 es a La regla, por tanto, es dividir el numerador
entre el entero sin cambiar el denominador. Así:

La dividido entre 2 da ze ;
Ea dividido entre 3 da a , Y

La dividido entre 4 da BR , etc.
25 25

30

104. Esta regla es fácilmente practicable siempre que el numerador sea divisible
entre el número propuesto, pero muchas veces este no es el caso. Debemos observar, por
tanto, que una fracción puede ser transformada en un número infinito de otras expresiones,

y que ese número debe ser uno por el cual el numerador pueda ser dividido entre el entero

dado. Si se requiriese, por ejemplo, dividir 4 entre 2, tendríamos que cambiar la fracción a

6 El dea Di E 5
A y después dividir el numerador entre 2, para así inmediatamente tener $ como el
cociente buscado.

y dos , A ac
Por lo general, si se propone dividir la fracción ” entre c, la transformamos a be y
Cc

dee apio as a ;
después dividimos el numerador ac entre c y escribimos be por el cociente buscado.
E

Re ., q ¿uy
105. Por consiguiente, cuando una fracción A ha de ser dividida entre un entero c,
sólo tenemos que multiplicar el denominador por tal número y dejar al numerador tal
PO MEET 3 Do 9
como está. Así, — dividido entre 3 da ——, y — dividido entre 5 da —.
8 24" 6 30
Esta operación se vuelve más fácil cuando el propio numerador es divisible entre el

entero, tal como hemos supuesto en el artículo 103. Por ejemplo, e dividido entre 3 daría,
e 9 ; : z
de acuerdo con nuestra última regla, 48 ; pero por la primera regla, que es aplicable aquí,
3 5 . 9 2d
obtenemos e una expresión equivalente a 45 pero más simple.
106. Ahora podemos comprender cómo es que una fracción : puede ser

multiplicada por otra fracción —. Sólo tenemos que considerar que "7 significa que c es

a|o

bd pp gs o
dividido entre d, y sobre este principio primero debemos multiplicar la fracción ” por c, lo

que produce 2 y después dividir entre d, lo que da > y

31

De aquí la siguiente regla para multiplicar fracciones: multiplicar por separado

los numeradores y los denominadores. Así,

a por a da el producto a ,0 Le
2 3 6 3
2 4 8

— por — hace —;

3 5 15

3 5 15 >

— por — produce -——,0 —, etc.
4 12 48 16

107. Queda por demostrar cómo una fracción puede ser dividida por otra. Notemos

primero que si las dos fracciones tienen el mismo número por denominador, la división

y y . 3 ,

tiene lugar sólo con respecto a los numeradores, porque es evidente que 5 están
. 9 ) A

contenidos tantas veces en 17 como lo están 3 en 9, esto es, tres veces; e igualmente, para

dividir S entre o tenemos que dividir 8 entre 9, lo que da > También tenemos > en

18 7 49 7 6 6
— 3 veces; — en —, 7 veces, — en —, —,etc.
20 100 100 25 25 7

108. Pero cuando las fracciones no tienen denominadores iguales, tenemos que

recurrir al método ya mencionado de reducirlas a un denominador común. Sea, por

j , a E dun dE A ; ,

ejemplo, la fracción A a ser dividida entre la fracción y Primero las reducimos al mismo
a ad LN cd ,

denominador, y entonces tenemos bd a ser dividido entre E ahora es evidente que el

z y Pedo ad
cociente debe estar representado simplemente por la división de ad entre bc, lo que da a
Cc

De aquí se sigue la regla: multiplíquese el numerador del dividendo por el denominador
del divisor, y el denominador del dividendo por el numerador del divisor; el primer

producto será el numerador del cociente y el segundo será su denominador.

32

109. Después de aplicar esta regla a la división de - entre > tendremos el

15 bodas de 3 1 ¿6.3 1 25 5 , 150
cociente —; la división de — entre — dará — 0 0ly-—,y — entre — dará =— o
16 4 2 4 2 2." 48 6 240
sd
8

110. Esta regla suele representarse de una manera que resulta más fácil de recordar:
inviértase la fracción que es el divisor para que el denominador esté en lugar del
numerador y escríbase este último bajo la línea; después multiplíquese la fracción que es
el dividendo por esta fracción invertida y el producto será el cociente buscado. De esta

forma, : dividido entre , es lo mismo que - multiplicado por > lo que da : O 15.

También Sa dividido entre e es lo mismo que si multiplicado por = lo que da Ed O al
8 3 8 2 16. 48

dividido entre Ed da lo mismo que a multiplicado por e , cuyo producto es 2 O >
6 48 5 240 8

2 O! A
Vemos pues, que por lo general dividir entre la fracción > es lo mismo que

ad 2 dia 1 : Ea 3
multiplicar por a o por 2, y que la división entre 3 equivale a la multiplicación por Ñ O
por 3, etc.

111. El número 100 dividido entre y dará 200, y 1000 dividido entre : dará 3000.

Más allá, si se requiriera dividir 1 entre E el cociente sería 1000, y al dividir 1 entre

1
100000

es dividido entre O, el resultado debe ser un número infinitamente grande, porque incluso la

el cociente es 100000. Esto nos permite concebir que, cuando cualquier número

tt ES 2D 1 ; a
división de 1 entre la pequeña fracción -——————— da como cociente el gran número
1000000000

1000000000.
112. Como todo número que es dividido entre sí mismo produce una unidad, es

claro que una fracción dividida entre sí misma también debe dar 1 como cociente. Lo

Ele

mismo se sigue de nuestra regla, porque para dividir : entre z debemos multiplicar :
4 12 ' A a e a D

por —, y Obtenemos — o 1, y si queremos dividir — entre — multiplicamos — por —, y
3 12 D D D a

ab e y
el producto bp también es igual a 1.
a
113. Todavía nos queda explicar una expresión que es utilizada con frecuencia.

Podría preguntarse, por ejemplo, cuál es la mitad de => esto significa que debemos

multiplicar : por > Así también, si se requiriese el valor de ; de > debemos

5 2 10 3 9 9
ltipli a —=,1 d , de es lo mismo que — multiplicado
multiplicar $ por 3 o que produce 2 y a 16 q 16 p

or > ue produce E
p me que p 64
114. Por último, debemos observar, con respecto a los signos + y -, las mismas
0d 1
reglas que ya establecimos para los números enteros. Así, ., multiplicado por En da

, y pa multiplicado por za da Es] Además, e dividido entre + a da a y
3 5 15 8 3 16

dividido entre — Es da + La o+l.
4 12

Blu a]j-=

CAPÍTULO XI
DE LOS NÚMEROS CUADRADOS

115. Al producto de un número multiplicado por sí mismo se le llama cuadrado, y
por esta razón al número, considerado en su relación con tal producto, se le llama raíz
cuadrada.

Por ejemplo, cuando multiplicamos 12 por 12, el producto 144 es un cuadrado cuya
raíz es 12.

Este término deriva de la geometría, que nos enseña que los contenidos de un

cuadrado se encuentran al multiplicar su lado por sí mismo.

34

116. Los números cuadrados se encuentran, por tanto, por medio de la
multiplicación, esto es, al multiplicar la raíz por sí misma. De esta forma, 1 es el cuadrado
de 1, porque 1 multiplicado por 1 da 1; 4 es el cuadrado de 2, y 9 es el cuadrado de 3;
también, 2 es la raíz de 4 y 3 es la raíz de 9.

Comenzaremos por considerar los cuadrados de los números naturales, y así
daremos la siguiente tabla: en la primera línea están acomodados varios números o raíces,

y en la segunda sus cuadrados.

[90
ÉS
uu
mm
a]
00
NO

Números 10 11 12 13

ÉS
NO

Cuadrados 16 25 36 49 64 sl 100 | 121 | 144 | 169

117. Fácilmente será percibido que la serie de los números cuadrados así
acomodados tiene una propiedad singular, a saber, que si se resta cada uno de ellos de
aquel que inmediatamente le sigue, los restos siempre aumentan en 2 y se forma esta serie:
SO LL 1315517, 1921: :616:

118. Los cuadrados de las fracciones se encuentran de la misma manera, i. e., al

A 1 1
multiplicar cualquier fracción dada por sí misma. Por ejemplo, el cuadrado de E es y el

de E es e ala a es A de 2 es ade El es 2,
3 9 3 9 4 16 4 16

Sólo tenemos que dividir el cuadrado del numerador entre el cuadrado del

denominador, y la fracción que expresa tal división será el cuadrado de la fracción dada.
Así, al es el cuadrado de > y, recíprocamente, sl es la raíz de 20,
64 8 8 64

119. Cuando se requiere el cuadrado de un número mixto, o de un número

compuesto por un entero y una fracción, sólo tenemos que reducirlo a una sola fracción y

24 E 1
después tomar el cuadrado de ésta. Requiérase, por ejemplo, encontrar el cuadrado de 2 :

j » 5 Ls
primero expresamos este número con > y, tomando el cuadrado de esta fracción, tenemos

= O 6, para el valor del cuadrado de 2. Para obtener el cuadrado de 3 decimos que

35

3 es igual a E y que por tanto su cuadrado es igual a _ oal0 y — Los cuadrados

de los números entre 3 y 4, suponiendo que aumentan por un cuarto, son como siguen:

Números
: A ze :
4 2
Cuadrad
ss 102 191 ca ds
16 4 16

De esta pequeña tabla podemos inferir que si una raíz contiene una fracción,

me : 5 E
entonces su cuadrado también contiene una. Sea, por ejemplo, e la raíz; su cuadrado

9 1 ¿
será — o 2——, esto es, un poco más grande que el entero 2.
144 144

120. Pasemos a las expresiones generales. Cuando la raíz es a, el cuadrado debe ser
aa; si la raíz es 2a, el cuadrado es 4aa, lo que muestra que al duplicar la raíz, el cuadrado
se vuelve 4 veces más grande. Así que si la raíz es 3a, el cuadrado es 9aa, y si la raíz es 4a,
el cuadrado es l6aa. Pero si la raíz es ab, el cuadrado es aabb, y si la raíz es abc, el
cuadrado es aabbcc.

121. Así que cuando la raíz está compuesta de dos o más factores, multiplicamos
sus cuadrados juntos y, recíprocamente, si un cuadrado está compuesto de dos o más
factores de los cuales cada uno es un cuadrado, sólo tenemos que multiplicar juntas las
raíces de tales cuadrados para obtener la raíz completa del cuadrado propuesto. De esta
forma, como 2304 es igual a 4x16x36, su raíz cuadrada es 2x4x6 o 48, y resulta que
48 es la verdadera raíz cuadrada de 2304, porque 48x 48 da 2304.

122. Consideremos ahora lo relativo a los signos + y - con respecto a este tema.
Antes que nada, es evidente que si la raíz tiene el signo +, es decir, si es un número
positivo, su cuadrado necesariamente debe ser un número positivo, porque + por + hace +;
el cuadrado de +a será, pues, +aa. Pero si la raíz es un número negativo como en —a, el
cuadrado sigue siendo positivo porque es +4a. Podemos concluir, por lo tanto, que +aa es

el cuadrado tanto de +a como de — a, y que, consecuentemente, todo cuadrado tiene dos

36

raíces, una positiva y otra negativa. La raíz cuadrada de 25, por ejemplo, es tanto +5 como

—5, porque tanto —35 multiplicado por —5 como +3 multiplicado por +5 dan 23.

CAPÍTULO XII
DE LAS RAÍCES CUADRADAS Y DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES
QUE RESULTAN DE ELLAS

123. Lo que hemos dicho en el capítulo anterior es principalmente esto: la raíz
cuadrada de un número dado no es otra cosa que un número cuyo cuadrado es igual al
número dado, y podemos poner antes de tales raíces tanto al signo positivo como al
negativo.

124. Así que cuando está dado un número cuadrado, y siempre que retengamos en
nuestra memoria un número suficiente de números cuadrados, es fácil encontrar su raíz. Si,

por ejemplo, 196 es el número dado, sabemos que su raíz cuadrada es 14. Las fracciones se
es ; . A
manejan fácilmente del mismo modo: es claro, por ejemplo, que 5 es la raíz cuadrada de

23 z :
40* Para convencernos de esto sólo tenemos que tomar la raíz cuadrada del numerador y
la del denominador.

, a y z 1 '
Si el número propuesto es un número mixto, como AE lo reducimos a una sola
dez 49, Ñ 57 7 1
fracción, que en este caso es Ea e inmediatamente percibimos que > O 37 debe ser la

raíz cuadrada de 123 ,

125. Pero cuando el número dado no es un cuadrado, como 12 por ejemplo, no es
posible extraer su raíz cuadrada o encontrar un número que, multiplicado por sí mismo, dé
12 como producto. Sin embargo, sabemos que la raíz cuadrada de 12 debe ser mayor que 3,

porque 3x3 sólo produce 9, y menor que 4, porque 4x4 produce 16, que es más que 12.

he á 1 ,
También sabemos que esta raíz es menor que 2 porque hemos visto que el cuadrado de

37

1 E] 1 eS , , E
ió o de > es Le: Por último, podemos acercarnos todavía más a esta raíz si la

comparamos con abs porque el cuadrado de EN o de 2 es alli O ¡pa de tal
15 15 15 225 225
manera que esta fracción sigue siendo mayor que la raíz requerida, aunque muy poco

; a 4
mayor, ya que la diferencia entre las dos raíces es de sólo 2935
1 ñ ¿ E
126. Podemos suponer que, como no y 3 son números mayores que la raíz de

z e e q .
12, sería posible añadir a 3 una fracción un poco menor que 15 precisamente tal que el
cuadrado de su suma sea igual a 12.

3 3 7 3
Intentemos, pues, con des ya que E es un poco menor que EN Ahora, ES es
. 24 576 12
igual a a cuyo cuadrado es 49” y consecuentemente menor por 49 que 12, que
588 3 7
podemos expresar por 0” Hemos probado, por tanto, que e] es menor y que e es
z > > 3
mayor que la raíz requerida. Intentemos, pues, con un número un poco mayor que > pero

menor que 3 por ejemplo, 2. Este número, que es igual a o, tiene como cuadrado

e. Al reducir 12 a este denominador obtenemos a lo que muestra que - sigue

siendo menor que la raíz de 12 por —. Sustituyamos entonces = por la fracción E que

es un poco mayor, y veamos cuál será el resultado de la comparación del cuadrado de e

con el número 12. El cuadrado de - es e ; si reducimos 12 al mismo denominador

! El
es , así que es todavía muy pequeño, aunque sólo por ss mientras que E ha

169

resultado ser demasiado grande.

38

127. Es claro, pues, que cualquier fracción que sea unida a 3, el cuadrado de tal

suma siempre contendrá una fracción y nunca será exactamente igual al entero 12. Así,
a 6 el
aunque sabemos que la raíz cuadrada de 12 es mayor que 13 y menor que 7 no es

posible asignar una fracción intermedia entre estas dos que, al mismo tiempo, si es añadida
a 3, exprese exactamente la raíz cuadrada de 12. A pesar de esto, no debemos afirmar que
la raíz cuadrada de 12 está absolutamente y en sí misma indeterminada; sólo se sigue que
esta raíz, aunque necesariamente tiene una magnitud determinada, no puede expresarse por
fracciones.

128. Existe, por lo tanto, un tipo de números que no pueden ser asignados por
fracciones y que son, no obstante, cantidades determinadas. La raíz cuadrada de 12
proporciona un ejemplo de esto. A esta nueva especie de números le llamamos números
irracionales, y tienen lugar cuando intentamos encontrar la raíz cuadrada de un número
que no es un cuadrado. Así, en 2, al no ser un cuadrado perfecto, la raíz cuadrada de 2, o el
número que multiplicado por sí mismo produce 2, es una cantidad irracional. A estos
números también se les llama inconmensurables.

129. Estas cantidades irracionales, aunque no pueden ser expresadas por fracciones,
son magnitudes de las cuales podemos formarnos una idea precisa, porque no obstante qué
tan oculta pueda parecer la raíz cuadrada de 12, por ejemplo, sabemos que debe ser un
número que, multiplicado por sí mismo, produzca exactamente 12, y esta propiedad es
suficiente para darnos una idea del número, ya que está en nuestras manos el aproximarnos
a su valor de manera continua.

130. Como ya estamos lo suficientemente familiarizados con la naturaleza de los
números irracionales bajo nuestra consideración presente, se ha acordado un signo

particular para expresar las raíces cuadradas de todos los números que no son cuadrados
perfectos. Este signo se escribe como Y y se lee como raíz cuadrada. De esta forma, 12
representa la raíz cuadrada de 12 o el número que, multiplicado por sí mismo, produce 12.

2 representa la raíz cuadrada de 2, 3 la de 3, ; la de : y, en general, a

representa la raíz cuadrada del número a. Así que cuando expresemos la raíz cuadrada de

39

un número que no es un cuadrado, sólo necesitamos hacer uso del signo Y poniéndolo antes
del número.

131. La explicación que hemos dado de los números irracionales inmediatamente
nos permitirá aplicarles métodos bien conocidos del cálculo. Sabiendo que la raíz cuadrada

de 2 multiplicada por sí misma debe producir 2, también sabemos que la multiplicación

2 por 2 necesariamente debe producir 2; que, de igual manera, la multiplicación 3

por 3, debe dar 3; que 3 por 5 hace 5; que por

Y |]

Dejas Ed -
3 da 3 y que, en general, a

multiplicado por a produce a.

132. Pero cuando se requiere multiplicar .a por .b, el producto será ab,
porque ya vimos que si un cuadrado tiene dos o más factores, su raíz debe estar compuesta

de las raíces de tales factores. Por eso encontramos la raíz cuadrada del producto ab, que es

ab, al multiplicar la raíz cuadrada de a o a por la raíz cuadrada de b o b . De esto es
evidente que si b fuese igual a a, tendríamos ad para el producto de a por b. Ahora
bien, aa es evidentemente a, porque aa es el cuadrado de a.

133. En la división, si se requiriese dividir a entre b, por ejemplo, obtenemos

, y en este ejemplo la irracionalidad puede desvanecerse en el cociente. Así, teniendo

>|a|

y consecuentemente a

Alo]

que dividir 18 entre - 8, el cociente es > , que se reduce a

Es , porque =d es el cuadrado de o
2 4 2

134. Cuando el número ante el cual hemos puesto el signo radical Y es en sí mismo

un cuadrado, su raíz se expresa en la forma habitual. Así, .4 es lo mismo que 2, 9 es lo

mismo que 3, 36 lo mismo que 6, y 123 lo mismo que ; O 3. En estos casos la

irracionalidad sólo es aparente, y desde luego desaparece.

135. También es fácil multiplicar números irracionales por números ordinarios. Por

ejemplo, 2 multiplicado por .5 da 2.5, y 3 veces .2 hace 3.2. En el segundo

40

ejemplo, sin embargo, como 3 es igual a 9, también podemos expresar 3 veces .2 como

y9 multiplicado por 2,ocomo 18. Así que 2 a es lo mismo que 4a, y 3 a lo

mismo que .9a . Y, en general, ba tiene el mismo valor que la raíz cuadrada de bba, o

abb , de donde inferimos recíprocamente que cuando el número precedido por el signo

radical contiene un cuadrado, podemos tomar la raíz de tal cuadrado y ponerla antes del

signo tal como lo haríamos al escribir b a en lugar de

bba . Después de esto, las

siguientes reducciones serán fácilmente comprendidas:

136. La división está fundada sobre los mismos principios.

Además,

8

120 -3-4
180-.2-9
24 0.6:4
32 0 2-16
75 -0:13:25

o .2-4 esigual a 2/2 ;

2

|

N]|

3

mn

246 ;
4 2;
5.3 , y así sucesivamente.

a dividido entre

$

E . De igual forma,
la = 4,02;
2 2
18 1 9,03;
2 2
La a 4,02
3 3
a a 2;
12 2
E A e 3;
43 /3 3
= 00 0 24,0 6-4,0, por último, 2.6.

41

137. No hay nada particular a observarse con respecto a la adición y sustracción de

tales cantidades, porque sólo las conectamos por los signos + y -. Por ejemplo, R

añadido a 3 se escribe como .2+-3, y 3 sustraído de 5 se escribe como 5-3

138. Por último hemos de notar que para distinguir los números irracionales, a
todos los otros números, tanto enteros como fraccionales, los llamamos números
racionales. Así que cuando hablemos de números racionales debemos entender enteros o

fracciones.

CAPÍTULO XIII
DE CANTIDADES IMPOSIBLES O IMAGINARIAS
QUE SURGEN DE LA MISMA FUENTE

139. Ya hemos visto que los cuadrados de los números, tanto negativos como
positivos, son siempre positivos o están afectados por el signo +, habiendo mostrado que
=a multiplicado por —a da +aa, lo mismo que el producto de +a por +a. Por eso es
que en el capítulo anterior supusimos que todos los números de los cuales requerimos
extraer raíces cuadradas eran positivos.

140. Es por esto que cuando se requiere extraer la raíz de un número negativo surge
una gran dificultad, porque no hay número asignable alguno cuyo cuadrado sea una
cantidad negativa. Supongamos, por ejemplo, que queremos extraer la raíz de —4; para
esto requerimos un número tal que cuando sea multiplicado por sí mismo produzca -4.
Ahora, este número no es ni +2 ni —2, porque el cuadrado, tanto de +2 como de -— 2, es
+4 yno -4.

141. Debemos concluir, pues, que la raíz cuadrada de un número negativo no
puede ser un número positivo ni un número negativo, ya que los cuadrados de los números
negativos también toman el signo más. Consecuentemente, la raíz en cuestión debe
pertenecer a una especie de números completamente distinta, ya que no puede clasificarse
ni entre los números positivos ni entre los negativos.

142. Ahora bien, antes observamos que los números positivos son todos mayores

que nada o que O y que los números negativos son todos menores que nada o que 0, de tal

42

forma que cualquier cosa que exceda a O se expresa con números positivos y cualquier cosa
que sea menor que O se expresa con números negativos. Las raíces cuadradas de los
números negativos no son, por lo tanto, ni mayores ni menores que nada. Pero tampoco
podemos decir que son 0, porque O multiplicado por O produce O, y consecuentemente no
produce un número negativo.

143. Ahora, como todos los números que es posible concebir son o mayores o
menores que 0, o son el mismo 0, es evidente que no podemos clasificar la raíz cuadrada de
un número negativo entre los números posibles, y entonces debemos decir que es una
cantidad imposible. De esta forma llegamos a la idea de los números que, por su
naturaleza, son imposibles. A estos números suele llamárseles cantidades imaginarias,

porque sólo existen en la imaginación.

144. Todas las expresiones del tipo 1,.-2,.-3,.-4, etc., son,

consecuentemente, números imposibles o imaginarios porque representan raíces de
cantidades negativas; y de tales números podemos realmente afirmar que no son ni nada, ni
mayores que nada, ni menores que nada, lo que necesariamente los hace imaginarios o
imposibles.

145. A pesar de todo lo anterior, estos números se presentan a la mente; existen en

nuestra imaginación y tenemos una idea suficiente de ellos, porque sabemos que .—4 se
refiere a un número que, multiplicado por sí mismo, da — 4. También es por esto que nada

nos impide hacer uso de estos números imaginarios y de emplearlos en el cálculo.

146. La primera idea que tiene lugar en este tema es que el cuadrado de 3 por

ejemplo, o el producto de 3 por —3 debe ser —3; que el producto de ja por .—1

es —1, y que en general al multiplicar le por -a, o al tomar el cuadrado de .—a,
obtenemos —a.
147. Ahora, como —a es igual a + a multiplicado por —1, y como la raíz cuadrada

de un producto se encuentra multiplicando las raíces de sus factores, se sigue que la raíz de

a multiplicada por —1, o -a,es igual a a multiplicado por '—1. Ahora bien, a es

un número posible o real, y consecuentemente toda la imposibilidad de una cantidad

imaginaria siempre puede reducirse a .—1. Por esta razón, .—4 es igual a .4

43

multiplicado por .—1 ya 2.—1, dado que - 4 es igual a 2. Por la misma razón, .—9 se
reduce a .9x -10a34/-1, y —16 esigual a 4 El

148. Por otra parte, como a multiplicado por b hace ab, tendremos 6 para
el valor de .—2 multiplicado por -3, y 4 02 para el valor del producto de -1 por

—4. Vemos, entonces, que dos números imaginarios multiplicados juntos producen un

número real o posible. Pero, por el contrario, un número posible multiplicado por uno

imposible da siempre un producto imaginario, así, =3 por +5 da -15.

149, Con respecto a la división es lo mismo, porque va dividido entre b

haciendo , es evidente que .—4 dividido entre .—1 dará +4 o 2, que /+3

S|20|

dividido entre .—3 dará —1, y que 1 dividido entre (21 da - o. =1, porque 1 es

igual a SO
150. Antes hemos observado que la raíz cuadrada de cualquier número siempre
tiene dos valores, uno positivo y otro negativo; que oa por ejemplo, es tanto +2 como

— 2, y que, en general, debemos tomar tanto — .a como +-..a para la raíz cuadrada de a.

Esta observación también aplica a los números imaginarios: la raíz cuadrada de —a es

tanto +..—a como — .—a, pero no debemos confundir los signos + y - que se encuentran
antes del signo radical Y con el signo que viene después de él.

151. Nos queda eliminar cualquier duda que pueda quedar con respecto a la utilidad
de los números que hemos estado considerando, porque tales números siendo imposibles,
no sería sorprendente si alguien los considerara totalmente inútiles, y a todo este tema lo
considerara sólo una especulación ociosa. Esto, sin embargo, no es el caso. El cálculo de
cantidades imaginarias es de la mayor importancia. A menudo surgen cuestiones de las
cuales no podemos decir de inmediato si incluyen cualquier cosa real o posible o no. Ahora
bien, cuando la solución de tal cuestión conduce a números imaginarios, estamos seguros
de que lo que se requiere es imposible.

Para ilustrar esto con un ejemplo, supongamos que se propone dividir el número 12

en dos partes tales que su producto sea 40. Si resolvemos esta cuestión por las reglas

44

ordinarias, encontramos que las partes buscadas son 6+ =d y 6- 4 pero estos
números siendo imaginarios, concluimos que es imposible resolver la cuestión. La
diferencia será fácilmente percibida si suponemos que la cuestión hubiese sido dividir 12
en dos partes tales que multiplicadas juntas produzcan 35, porque es claro que tales partes

deben ser 7 y 5.

CAPÍTULO XIV
DE LOS NÚMEROS CÚBICOS

152. Cuando un número ha sido multiplicado tres veces por sí mismo o, lo que es lo
mismo, cuando el cuadrado de un número ha sido multiplicado una vez más por tal
número, obtenemos un producto llamado cubo o número cúbico. Así, el cubo de a es aaa,
porque es el producto obtenido al multiplicar a por sí mismo, o por a, y ese cuadrado aa de
nuevo por a.

Los cubos de los números naturales se suceden entre sí en el siguiente orden:

Números | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Cubos 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000

153. Si consideramos las diferencias de tales cubos, tal como lo hicimos con [las
diferencias de] los cuadrados, 1. e., sustrayendo cada cubo de aquel que viene después de
él, obtenemos la siguiente serie de números:

7, 19,37, 61,91, 127, 169, 217, 271.
A primera vista no observamos regularidad alguna entre ellos, pero si tomamos sus
respectivas diferencias, encontramos la siguiente serie:
12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60,
en donde los términos, como es evidente, aumentan siempre en 6.

154. Después de la definición que hemos dado a un cubo, no será difícil encontrar

los cubos de números fraccionales: Es es el cubo de L EN es el cubo de E y E es el
8 8 27 3 27

45

cubo de ; . De la misma manera, sólo tenemos que tomar el cubo del numerador y el del

denominador por separado, y tendremos = para el cubo de : z

155. Si se requiriese encontrar el cubo de un número mixto, primero debemos
reducirlo a una fracción individual y después proceder en la forma descrita. Para

encontrar, por ejemplo, el cubo de 15: debemos tomar el de S que es - 03 y => Así

que el cubo de e o de la fracción individual z es LaS O po , y el cubo de qe o de da
4 4 64 64 4 4
es Sd O a.
64 64

156. Como aaa es el cubo de a, el de ab será aaabbb, por lo cual vemos que si un
número tiene dos o más factores, podemos encontrar su cubo multiplicando juntos los
cubos de tales factores. Por ejemplo, como 12 es igual a 3x4, multiplicamos el cubo de 3,
que es 27, por el cubo de 4, que es 64, y obtenemos 1728, el cubo de 12. Además, el cubo
de 2a es 8aaa , y consecuentemente 8 veces más grande que el cubo de a; e igualmente, el
cubo de 3a es 27aaa, esto es, 27 veces más grande que el cubo de a.

157. Tratemos también aquí los signos + y -. Es evidente que el cubo de un número
positivo + a también debe ser positivo, esto es, + aaa. Pero si debemos cubicar un número
negativo —a, lo conseguimos tomando primero el cuadrado, que es +aa, y después
multiplicándolo, de acuerdo con la regla, por — a, lo que da —aaa por el cubo requerido.
A este respecto, por lo tanto, no es lo mismo con los números cúbicos que con los
cuadrados, porque los últimos siempre son positivos mientras que el cubo de —1 es —1, el

de -2 es -8, el de -3 es -27, y así sucesivamente.

CAPÍTULO XV
DE LAS RAÍCES CÚBICAS Y DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES
QUE RESULTAN DE ELLAS

158. Así como podemos encontrar, de la manera recién expuesta, el cubo de un

número dado, de igual manera, cuando se propone un número, podemos encontrar

46

recíprocamente un número que multiplicado tres veces por sí mismo produzca aquel
número propuesto. Al número buscado aquí se le llama, en relación con el otro, raíz
cúbica. Así que la raíz cúbica de un número dado es el número cuyo cubo es igual a tal
número dado.

159. Es fácil, por lo tanto, determinar la raíz cúbica cuando el número propuesto es
un cubo real, tal como en los ejemplos del último capítulo. Y esto porque fácilmente
percibimos que la raíz cúbica de 1 es 1, la de 8 es 2, la de 27 es 3, la de 64 es 4, y así

sucesivamente. Y, de la misma manera, la raíz cúbica de — 27 es —3 y la de -125 es —5.

Además, si el número propuesto es una fracción, como en > su raíz cúbica debe

ser e y la de 0 es E . Por último, la raíz cúbica del número mixto ¿1 debe ser A O
3 343 e 27

a o a
a

160. Pero si el número propuesto no es un cubo, su raíz cúbica no puede ser
expresada ni por números enteros ni por números fraccionales. Por ejemplo, 43 no es un
número cúbico, y yo digo, por lo tanto, que es imposible asignar algún número, entero o
fraccional, cuyo cubo sea exactamente 43. Sin embargo, sí podemos afirmar que la raíz
cúbica de tal número es mayor que 3 (porque el cubo de 3 es sólo 27) y menor que 4
(porque el cubo de 4 es 64). Sabemos, pues, que la raíz cúbica requerida se encuentra
necesariamente contenida entre los números 3 y 4.

161. Como la raíz cúbica de 43 es mayor que 3, si añadimos una fracción a 3 es
cierto que nos podemos aproximar cada vez más al valor verdadero de esta raíz; pero nunca
podremos asignar el número que expresa tal valor de forma exacta, porque el cubo de un

número mixto nunca puede ser perfectamente igual a un entero, tal como 43. Si
sa : La Beda : e:
supusiésemos, por ejemplo, que 7 O > es la raíz cúbica requerida, el error sería 3?

porque el cubo de E es E O 497.
2 8 8

162. Esto muestra que la raíz cúbica de 43 no puede expresarse de ninguna manera

por enteros o por fracciones. Sin embargo, tenemos una idea inconfundible de la magnitud

de esta raíz, lo que nos induce a utilizar, para representarla, el signo 3, que ponemos

47

antes del número propuesto y que se lee como raíz cúbica para distinguirla de la raíz

cuadrada, que suele llamársele simplemente raíz. Así, * 43 significa la raíz cúbica de 43,
es decir, el número cuyo cubo es 43 o que multiplicado tres veces por sí mismo produce
43.

163. También es evidente que tales expresiones no pueden pertenecer a las
cantidades racionales, y que más bien forman una especie particular de cantidades
irracionales. No tienen nada en común con las raíces cuadradas, y no es posible expresar
una raíz cúbica con una raíz cuadrada, como, por ejemplo, con 103 porque siendo 12 el
cuadrado de 12, su cubo será 1212, todavía irracional, y tal no puede ser igual a 43.

164. Si el número propuesto es un cubo real, entonces nuestras expresiones se
vuelven racionales: * 1 es igual a 1; * 8 es igual a 2; * 27 es igual a 3, y en general * aaa
es igual a a.

165. Si se propusiese multiplicar una raíz cúbica * a por otra *? b, el producto
debe ser > ab, porque sabemos que la raíz cúbica de un producto ab se encuentra al
multiplicar juntas las raíces cúbicas de los factores. De aquí que, también, si dividimos * a
entre 3 b el cociente será 3 a

166. Percibimos asimismo que 2* a es igual a * 8a , porque 2 es equivalente a * 8

3

: que 3% a es igual a 9 27a, y que b? a es igual a * abbb. Así, recíprocamente, si el

número bajo el signo radical tiene un factor que es un cubo, podemos hacerlo desaparecer

al poner su raíz cúbica antes del signo [radical]. Por ejemplo, en lugar de * 64a podemos

escribir 4% a, y 5? a en lugar de * 1254 . Por consiguiente, * 16 es igual a 2* 2, porque
16 es igual a 8 por 2.

167. Cuando el número propuesto es negativo, su raíz cúbica no está sujeta a las
mismas dificultades que tuvieron lugar al tratar las raíces cuadradas. Porque, como los

cubos de los números negativos son negativos, se sigue que las raíces cúbicas de los

8

números negativos sólo pueden ser negativas. Así, -8 es igual a —-2, y *-—27 [es igual]
a —3. También se sigue que * —12 es lo mismo que — 112 y que * -a puede expresarse
por —* a. De aquí vemos que el signo -, cuando está después del signo de la raíz cúbica,

48

también puede ser puesto antes que él. De aquí no llegamos, por tanto, a los números
imposibles o imaginarios que tuvieron lugar al considerar las raíces cuadradas de los
números negativos.
CAPÍTULO XVI
DE LAS POTENCIAS EN GENERAL

168. Al producto que obtenemos al multiplicar un número varias veces por sí
mismo se le llama potencia. Así, el cuadrado que surge de la multiplicación de un número
por sí mismo, y el cubo que obtenemos al multiplicar un número tres veces por sí mismo,
son potencias. También decimos, en el primer caso, que el número está elevado al segundo
grado o a la segunda potencia, y en el último, que el número está elevado al tercer grado o
a la tercera potencia.

169. Distinguimos estas potencias entre sí por el número de veces que el número
dado ha sido multiplicado por sí mismo. Por ejemplo, al cuadrado se le llama segunda
potencia porque un cierto número dado ha sido multiplicado dos veces por sí mismo, y sl
un número ha sido multiplicado tres veces por sí mismo, llamamos tercera potencia al
producto, que por tanto significa lo mismo que el cubo. Si multiplicamos un número cuatro
veces por sí mismo, tendremos su cuarta potencia o lo que suele llamarse su bicuadrado.
De lo dicho será fácil comprender qué se quiere decir con quinta, sexta, séptima potencia,
etc., de un número. Sólo queda añadir que los nombres de estas potencias, después del
cuarto grado, dejan de tener cualquier otra distinción excepto estas [distinciones]
numerales.

170. Para ilustrar esto todavía mejor podemos observar, en primer lugar, que las
potencias de 1 permanecen siempre iguales, porque por cualquier número de veces que
multipliquemos 1 por sí mismo, el producto siempre será 1. Podemos, pues, empezar por

representar las potencias de 2 y de 3. Éstas se suceden en el siguiente orden:

Potencias Del número 2 Del número 3
I 2 3

TI 4 9

1011 8 27

IV 16 81

49

v 3Z 243

VI 64 129

VI 128 2187

VIH 256 6561

IX 312 19683

Xx 1024 59049

XI 2048 177147
XI 4096 531441
XI! 8192 1594323
XIV 16384 4782969
XV 32768 14348907
XVI 65536 43046721
XVI 131072 129140163
XVII 262144 387420489

Sin embargo, las potencias más notables son las del número 10, porque sobre éstas se
funda el sistema de nuestra aritmética. Unas cuantas de ellas recorridas en orden,
comenzando con la primera, son como sigue:

I TI TI IV vV VI

10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000, etc.

171. Para ilustrar este tema y para considerarlo de una manera más general,
podemos observar que las potencias de cualquier número a se suceden entre sí en el
siguiente orden:

I TI TI IV vV VI

a aa ada aqda9Ya aqa9aa aqaVaa, etc.

Pero en seguida vemos la inconveniencia de ocuparnos así de las potencias, consistente en
la necesidad de repetir la misma letra muy seguido para expresar potencias grandes. El
lector también se vería en dificultades si estuviera obligado a contar todas las letras para
saber qué potencia se quiere representar. La centésima potencia, por ejemplo, no podría ser
convenientemente escrita de esta manera, y sería aún más difícil leerla.

172. Para eludir esta inconveniencia se ha ideado un método mucho más cómodo

para tratar con tales potencias y que por su amplio uso requiere ser cuidadosamente

50

explicado. Así, por ejemplo, para expresar la centésima potencia simplemente escribimos

el número 100 arriba y un poco a la derecha del número cuya centésima potencia

19% Significa a elevado a 100, y representa la centésima potencia de a.

expresaríamos: a
Debemos observar que nombramos exponente al número escrito arriba [y a la derecha] de
aquel [número] cuya potencia o grado representa, y que en este caso es 100.

173. De igual forma, a” significa a elevado a 2 o la segunda potencia de a, que a
veces representamos también como aa porque ambas expresiones se escriben y
comprenden con la misma facilidad. Pero para expresar el cubo o la tercera potencia aaa

escribimos a? de acuerdo con la regla según la cual podemos ocupar menos espacio. Así

ue a* significa la cuarta potencia, a? la quinta potencia, y a” la sexta potencia de a.
q g p q p y p

174. En pocas palabras, todas las potencias de a estarán representadas por
a?,a*,a*,a*,a*,a”,a*,a?,a'”, etc. De esto vemos que pudimos haber escrito muy
propiamente a' en lugar de a para el primer término y así mostrar el orden de la serie de

forma más clara. En realidad, a' no es más que a, porque esta unidad muestra que la letra
a ha de ser escrita sólo una vez. Á una serie de potencias de este tipo también se le llama
progresión geométrica, porque cada término es mayor que el precedente por uno.

175. Como en esta serie de potencias encontramos cada término al multiplicar el
término precedente por a (lo que incrementa el exponente en 1), también podemos
encontrar, con cualquier término dado, el término precedente si dividimos entre a, porque

esto disminuye el exponente en 1. Esto muestra que el término que precede al primer

dea a a j .
término a' necesariamente debe ser = o 1. Ahora bien, si procedemos de acuerdo con los
a

exponentes, inmediatamente concluimos que el término que precede al primero debe ser
a”. De esto deducimos esta notable propiedad: a? es constantemente igual a 1 sin
importar qué tan grande o pequeño sea el valor de a, e incluso cuando a es nada; esto es,
a” esigual a 1.'

176. Podemos continuar nuestra serie de potencias en un orden retrógrado y de dos
formas distintas: primero, dividiendo siempre entre a; segundo, disminuyendo el exponente

en una unidad. Es evidente que ya sea que sigamos una u otra de estas formas, los términos

lEsto es, 0 =1. Nota del Traductor.

51

son perfectamente iguales. Esta serie decreciente está representada, en ambas de sus

formas, en la siguiente tabla que debe leerse al revés, o de derecha a izquierda:

1 Jñ 1 Ú: 1 1 1 a
aagaaaa | aVqqad aaga aaa aa a
1 1 ll 1 1 1
6 us NE 43 Dn Emo
a? a a* ar as a

6 =5 4 3 2 -1 0 1

a a a a a a a a

177. Ahora hemos llegado al conocimiento de las potencias cuyos exponentes son
negativos, y somos capaces de asignar el valor preciso de tales potencias. De lo que hemos

dicho, parece que

a es igual a 1; entonces
4 . 1
a es igual a e
1 1
dl) .
a A
a a
E 1
a” o
a
E 1
a > etc.
a

178. A partir de la notación anterior será fácil encontrar las potencias de un

» . ll 2,2 313 474 5,5 ó
producto ab. Estas deben ser evidentemente ab o a'b',a“b*,a"b”,a*b”,a”b”, etc. Y de igual
¿ , , a
forma se encuentran las potencias de fracciones; por ejemplo, las de ” son
Ye
aa ata AA
pOr

179. Por último, tenemos que considerar las potencias de números negativos.

ÍC.

Supongamos que el número dado es —a; entonces sus potencias formarán la siguiente

serie: — a,+aa,—a*,+a* a? ,+a?, etc. Podemos observar que sólo se vuelven negativas las

32

potencias cuyos exponentes son números nones y que, por el contrario, todas las potencias
que tienen un número par por exponente son positivas. Así que la tercera, la quinta, la
séptima, la novena, etc., potencias tienen todas el signo -, y la segunda, la cuarta, la sexta,

la octava, etc., potencias están afectadas por el signo +.

CAPÍTULO XVI
DEL CÁLCULO DE POTENCIAS

180. No tenemos nada particular que observar con respecto a la adición y
sustracción de potencias, porque sólo representamos estas operaciones por medio de los
signos + y - cuando las potencias son distintas. Por ejemplo, a? +a* es la suma de la

. 5 4
segunda y tercera potencias de a, y a” —a” es lo que queda cuando sustraemos la cuarta

potencia de a de la quinta potencia de a, y ninguno de estos resultados puede ser reducido.
Cuando tenemos potencias del mismo tipo o grado, es claramente innecesario conectarlas
con signos; a +a? da 2a”, etc.

181. Sin embargo, en la multiplicación de potencias varias cosas requieren nuestra
atención. Primero, cuando requerimos multiplicar cualquier potencia de a por a, obtenemos

la potencia que le sucede; es decir, la potencia cuyo exponente es mayor en una unidad.

Así, a” multiplicado por a produce a*, y a? multiplicado por a produce a*. Y, de igual
forma, cuando requerimos multiplicar por a las potencias de tal número con exponentes

negativos, debemos añadir 1 al exponente. Así, a”' multiplicado por a produce a” o 1, lo

z j A ; z , 1 . a
que se hace más evidente si consideramos que a” es igual a + y que, siendo — el
a a

1 : ; E aya
producto de — por a, es consecuentemente igual a 1. Del mismo modo, a”? multiplicado
a

Í

pe 1 -10 Gs -9 y .
por a produce a * 0 ,y a ” multiplicado por a da a ”, y así sucesivamente.
a

182. Si requerimos multiplicar una potencia de a por aa o por la segunda potencia,

yo digo que el exponente se vuelve más grande en 2. De esta forma, el producto de a? por

2 4, 2 3 Ns 4 2 6 4 n
a” es a”; el de a” por a” es a”; el de a” por a” es a”, y que, de manera más general, a

. . 2: 2 . 1
multiplicado por a” hace a"*?. Con respecto a los exponentes negativos, tendremos a. 0

33

1

-1 2 -1 . . . ó

a para el producto de a por a”, porque a” siendo igual a —, es lo mismo que si
a

e O . aa y)
hubiésemos dividido aa entre a; consecuentemente, el producto requerido es ——, 0 a. Así,
a

a”? multiplicado por a? produce a" o 1, y a? multiplicado por a? produce a”.

183. No es menos evidente que para multiplicar cualquier potencia de a por a”,
debemos incrementar su exponente en tres unidades, y que consecuentemente el producto
de a” por a? es a"*”*. Y cada vez que se requiera multiplicar dos potencias de a, el
producto será también una potencia de a, y una potencia cuyo exponente será la suma de
los exponentes de las dos potencias dadas. Por ejemplo, a* multiplicado por a* dará a”, y
a'? multiplicado por a? dará a”, etc.

184. Desde estas consideraciones podemos determinar fácilmente potencias más
grandes. Para encontrar, por ejemplo, la vigésimo cuarta potencia de 2, multiplicamos la
doceava potencia por la doceava potencia, porque 2” es igual a 2'?x2”. Ya vimos que
2” es 4096; yo digo, por tanto, que el número 16777216, o el producto de 4096 por 4096,
expresa la potencia requerida 2”.

185. Pasemos a la división. Debemos notar, en primer lugar, que para dividir una
potencia de a entre a debemos sustraer 1 del exponente, o disminuirlo en una unidad. Así,

“oa e y a” dividido
a

a? dividido entre a da a*; a” o 1 dividido entre a es igual a a

entre a da a?.
186. Si tenemos que dividir una potencia dada de a entre a?, debemos disminuir el

exponente en 2, y si es entre a*, debemos sustraer tres unidades del exponente de la
potencia propuesta. Así que, en general, sea cual sea la potencia de a requerida para ser

dividida entre otra potencia de a, la regla siempre es sustraer el exponente de la segunda

. . y eya Y 8 6
del exponente de la primera de estas potencias. Así, a'” dividido entre a” dará a*; a

3 artes 4 z 1
', y a? dividido entre a* dará a”.

dividido entre a? dará a”
187. De lo dicho arriba es fácil comprender el método para encontrar las potencias
de potencias. Esto se hace mediante la multiplicación. Cuando buscamos, por ejemplo, el

cuadrado o la segunda potencia de a?, encontramos al, y del mismo modo encontramos

54

a'” para la tercera potencia o el cubo de a*. Para obtener el cuadrado de una potencia,
sólo tenemos que duplicar su exponente; para su cubo, debemos triplicar su exponente, y
así sucesivamente. El cuadrado de a” es a?”; su cubo es a”; su séptima potencia es a”,
etc.

188. Siendo a* el cuadrado de a? o el cuadrado del cuadrado de a, podemos ver
por qué a la cuarta potencia se le llama bicuadrado. El cuadrado de a? es a”, y por tanto la
sexta potencia ha recibido el nombre de cuadrado al cubo. Por último, siendo a” el cubo
de a*, a la novena potencia la llamamos cubo al cubo. No se han introducido más
denominaciones de este tipo para las potencias, y en realidad las últimas dos son muy poco

comunes.

CAPÍTULO XVIII
DE LAS RAÍCES EN RELACIÓN CON LAS POTENCIAS EN GENERAL

189. Como la raíz cuadrada de un número dado es un número cuyo cuadrado es
igual a tal número dado, y como la raíz cúbica de un número dado es un número cuyo cubo
es igual a tal número dado, se sigue que de cualquier número que nos sea dado siempre
podemos indicar sus raíces de tal forma que su cuarta o quinta, o cualquier otra potencia,
sea igual al número dado. Para distinguir mejor estos distintos tipos de raíces, llamaremos
segunda raíz a la raíz cuadrada y tercera raíz a la raíz cúbica, porque, de acuerdo con esta
denominación, podemos llamar cuarta raíz a aquella cuyo bicuadrado es igual a un número
dado, y quinta raíz a aquella cuya quinta potencia es igual a un número dado, y así
sucesivamente.

190. Como la raíz cuadrada o segunda está marcada por el signo y y la raíz cúbica o
tercera por el signo * —, la cuarta raíz está representada por el signo * la quinta por * y
y así sucesivamente, es evidente que, de acuerdo con este método de expresión, el signo de
la raíz cuadrada debe ser 2 . Pero debido a que de todas las raíces esta última es la que

ocurre con más frecuencia, se ha acordado, por razones de brevedad, omitir el número 2 en

39

el signo de esta raíz. Así que cuando un signo radical no tiene ningún número antepuesto,
esto siempre muestra que por ello debe entenderse raíz cuadrada.
191. Para explicar esto todavía más, mostraremos a continuación las distintas raíces

del número a con sus respectivos valores:

va esla segunda raíz de a,
3a esla tercera raíz de a,
mE
a cuarta a,
a quinta a,
a sexta a, y así sucesivamente.

A la inversa:

La segunda potencia de “a esiguala a,
la tercera potenciade a esiguala a,
la cuarta Ya a,
la quinta a a,
la sexta a a,

y así sucesivamente.

192. Por lo tanto, ya sea que el número a sea grande o pequeño, sabemos qué valor
atribuir a todas estas raíces de distintos grados. También debemos observar que si
sustituimos una unidad por a, todas estas raíces serán constantemente 1, porque todas las
potencias de 1 tienen una unidad como valor. Si el número a es mayor que 1, todas sus
raíces también excederán la unidad. Por último, si tal número es menor que 1, todas sus
raíces también serán menores que la unidad.

193. Si el número a es positivo sabemos, por lo que hemos dicho sobre las raíces
cuadradas y cúbicas, que todas las otras raíces pueden determinarse y que serán números
reales y posibles. Pero si el número a es negativo, su segunda, cuarta, sexta, y todas las
raíces pares se vuelven números imposibles o imaginarios, porque todas las potencias
pares, ya sean de números positivos o negativos, están afectadas por el signo +; mientras
que la tercera, quinta, séptima, y todas las raíces nones se vuelven negativas pero

racionales, porque las potencias nones de los números negativos son también negativas.

56

194. Aquí también tenemos una fuente inagotable de nuevos tipos de cantidades
irracionales, porque siempre que el número a no sea realmente una potencia, como alguno
de los índices anteriores representa O parece requerir, es imposible expresar tal raíz en
números enteros o en fracciones y, consecuentemente, debe ser clasificada entre los

números llamados irracionales.

CAPÍTULO XIX
DEL MÉTODO PARA REPRESENTAR NÚMEROS IRRACIONALES
CON EXPONENTES FRACCIONALES

195. En el capítulo anterior vimos que el cuadrado de cualquier potencia se
encuentra al duplicar el exponente de tal potencia y que, en general, el cuadrado o la
segunda potencia de a” es a”; y lo inverso también se sigue, esto es, que la raíz cuadrada
de la potencia a?” es a", y que se encuentra al tomar la mitad del exponente de tal
potencia o al dividirlo entre 2.

196. De esta forma, la raíz cuadrada de a? es a', la de a* es a?, la de a* es a”, y

3
, . A 3 % 5
así sucesivamente. En general, la raíz cuadrada de a” necesariamente debe ser a? y la de

1
1 ) ]
. Consecuentemente, tendremos a? para la raíz cuadrada de a', de donde vemos

n|u

5
a a

1
que a? es igual a a. Este nuevo método para representar la raíz cuadrada exige una

atención especial.

197. También vimos que para encontrar el cubo de una potencia como a” debemos
multiplicar su exponente por 3, y que consecuentemente tal cubo es a”. Así que, a la
Ñ . y LL. . 3n 4
inversa, cuando requerimos encontrar la raíz tercera o cúbica de la potencia a”, sólo
tenemos que dividir su exponente entre 3, y podemos ciertamente concluir que la raíz
requerida es a”. Consecuentemente, al 0a.es la raíz cúbica de a?; a? es la de a*; a? es

9 y .
la de a”, y así sucesivamente.

198. No hay nada que nos impida aplicar el mismo razonamiento a aquellos casos

2
o ds . y PE 2 3
en donde el exponente no es divisible entre 3, o de concluir que la raíz cúbica de a” es a?,

37

4 1
de ¡es
o que la raíz cúbica de a* es a? o a3. Consecuentemente, la raíz tercera o cúbica de a o

1 1
de a! debe ser a?, de donde parece que a? es iguala * a.

1
199. Es lo mismo con las raíces de grado más alto. La cuarta raíz de a será a*, cuya

1

expresión tiene el mismo valor que *a. La quinta raíz de a será a%, que es

consecuentemente equivalente a ? a; y la misma observación puede extenderse a todas las
raíces de grados más altos.

200. Podríamos, pues, abandonar por completo los signos radicales tal como se
utilizan actualmente y emplear en su lugar los exponentes fraccionales que hemos venido
explicando. Sin embargo, como estamos muy acostumbrados a tales signos y nos
encontramos con ellos en todos los libros de álgebra, sería un error desterrarlos del cálculo.
Pero también hay suficientes razones para emplear, como suele hacerse ahora, el otro

método de notación, porque corresponde manifiestamente con la naturaleza de las cosas.

1
En realidad, inmediatamente vemos que a? es la raíz cuadrada de a porque sabemos que el

1 1 1
cuadrado de a?, esto es, a? multiplicado por a?,esiguala a' oaa.

201. Lo que hemos dicho resulta suficiente para mostrar cómo hemos de entender

todos los otros exponentes fraccionales que puedan tener lugar. Si tenemos, por ejemplo,

ula

a? , esto significa que primero debemos tomar la cuarta potencia de a y después extrae su

4 e
PE 3 E 24 4.34
raíz cúbica o tercera, de tal forma que a? es lo mismo que la expresión común ”.a” . Para

3
encontrar el valor de a*, primero debemos tomar el cubo o la tercera potencia de a, que es

3
z 7 . y 4 . 4/3
a*, y después extraer la cuarta raíz de esta potencia, así que a* es lo mismo que * a? .
4

Igualmente, a? es igual a a*, etc.

202. Cuando la fracción que representa al exponente excede la unidad, podemos

5
expresar el valor de la cantidad dada de otra manera. Supongamos que es a?. Esta cantidad

2 1 1

es equivalente a a ?, que es el producto de a? por a?. Ahora, a? siendo igual a .a,es

58

5 10 3 15 32

evidente que a? es igual a dama. Así, a3,oa3,es igual a a a, y a*,estoes, a*,

expresa a** a*. Estos ejemplos son suficientes para mostrar la gran utilidad de los

exponentes fraccionales.

Ce , 3 ; 1
203. Su uso también se extiende a números fraccionales. Demos por sentado -=.
ya

y ; 1 ; j 5
Sabemos que esta cantidad es igual a 7. Ahora bien, ya vimos que una fracción de la
a?
1 tds 1 a
forma —, puede ser expresada como a ”; así que, en lugar de -——, podemos utilizar la
a va

1 1

Al E de l ] 3 1 ]
expresión a ?. Del mismo modo, ¿— es igual a a *. De nuevo, si se propone la cantidad
a
a? a? 3
a transformémosla en 3, que es el producto de a? por a *; ahora, este producto es
a 4
a
5 y
. mi A PEO Ps UN DE Gs y a
equivalente a a* o a a* o, por último, a a”. a. La práctica entregará reducciones

similares con facilidad.

204. Por último, debemos observar que cada raíz puede ser representada de distintas

1
a : So
formas. Esto porque a siendo lo mismo que a?, y 2 siendo transformable en todas las

fracciones CN etc., es evidente que a es igual a 4 az, ya € a, ya 8 A y
468 10 12

1

A : ) = : a eN 3 93
así sucesivamente. De igual forma, * a, que es igual a a*, seráiguala*a?,ya*a”,ya

*? q* . E igualmente vemos que el número a o a' puede ser representado por las siguientes

. . 2 2 3 3.4 4 5 5
expresiones radicales: 247, a”, a”, a”, etc.

205. Esta propiedad es de gran utilidad en la multiplicación y en la división, porque

2

% a? en lugar de 2a y

2 3

si tenemos que multiplicar % a por * a, por ejemplo, escribimos

3

% a? en lugar de * a, por lo que de esta manera obtenemos el mismo signo radical para

6

ambas [expresiones], y la multiplicación llevada a cabo produce * a? . El mismo resultado

59

1.1 1 1
e a en a 1 1 5
se deduce de a? *, el producto de a? multiplicado por a?*, porque de es Pa y,
5 ME
consecuentemente, el producto requerido es aé o % a”

1 1
Si tuviésemos que dividir + a o a? entre *

.

1

23

Diw
Div

a 0 des, tendríamos a od como

1
cociente, es decir, a o% a.

CAPÍTULO XX
DE LOS DISTINTOS MÉTODOS DE CALCULAR Y
DE SU CONEXIÓN MUTUA

206. Hasta ahora sólo hemos explicado los distintos métodos de calcular: adición,
sustracción, multiplicación, y división; la involución de las potencias, y la extracción de
raíces. Sería apropiado, por lo tanto, rastrear el origen de estos distintos métodos y explicar
la conexión subsistente entre ellos para así quedarnos satisfechos con la posibilidad o
imposibilidad de otras operaciones. Esta investigación arrojará nueva luz sobre los temas
que hemos considerado.

Al perseguir este objetivo, haremos uso de un nuevo carácter que podemos emplear
en lugar de la expresión es igual a que tanto hemos repetido. Este signo es =, y se lee como
igual a. Así, cuando escribo a=b, esto significa que a es igual a b; así, por ejemplo,
3x5=15.

207. El primer modo de calcular que se presenta inmediatamente en la mente es, sin
duda, la adición, por la cual añadimos dos números y encontramos su suma. Sean a y b dos
números dados. Si su suma está expresada por la letra c, tendremos a+b=c. Así que
cuando conocemos los dos números a y b, la adición nos enseña a encontrar el número c.

208. Conservando la comparación a+b=c, invirtamos la cuestión y
preguntémonos cómo hemos de encontrar el número b si conocemos los números a y c.
Requerimos, entonces, saber qué número ha de añadirse a a para que la suma sea el
número c. Supongamos, por ejemplo, que a=3 y c=8; así, tenemos que 3+b=8.

Evidentemente, encontraremos b al sustraer 3 de 8. Así que, en general, para encontrar b

60

debemos sustraer a de c, de donde surge que b=c—a, porque al añadir a en ambos lados
tenemos b+a=c-—az+a, esto es, =C, tal como supusimos. Tal es, pues, el origen de la
sustracción.

209. La sustracción tiene lugar cuando invertimos la cuestión que da lugar a la
adición. Ahora el número que requerimos sustraer es mayor que aquel del cual ha de ser
sustraído. Por ejemplo, si requiriésemos sustraer 9 de 5, esta instancia nos proporciona la
idea de un nuevo tipo de números a los que llamaremos negativos, porque 5-9=-4.,

210. Cuando varios números iguales han de ser añadidos juntos, su suma se
encuentra multiplicándolos, y se llama producto. Así, ab significa el producto que surge de
la multiplicación de a por b, o de la adición de un número a b veces por sí mismo. Si
representamos este producto con la letra c, tendremos ab=c, y la multiplicación nos
enseña cómo determinar el número c si conocemos los números a y b.

211. Propongamos lo siguiente: siendo conocidos los números a y c, encontrar el
número b. Supongamos, por ejemplo, que a=3 y c=15, así que 3b =15. Esta cuestión se
reduce a preguntarse por qué número ha de multiplicarse 3 para que el producto sea 15.

Ahora bien, esto es división: el número requerido se encuentra dividiendo 15 entre 3; por

¿ a o, Cc
lo tanto, el númeo b se encuentra al dividir c entre a, de lo que resulta la ecuación b==—.
a

212. Hemos visto que la multiplicación surge de la adición, es decir, de la adición
de varias cantidades iguales. Si damos un paso más, veremos que de la multiplicación de
varias cantidades iguales se derivan las potencias. Tales potencias están representadas, de
manera general, por la expresión a”, que significa que el número a debe multiplicarse
tantas veces por sí mismo como lo denote el número b. Y sabemos, por lo que hemos
dicho, que en este caso a es la raíz, b el exponente, y a” la potencia.

214. Además, si representamos esta potencia también por la letra c, tendremos
a? =c, una ecuación en la que encontramos tres letras: a, b, y c. Ya hemos visto cómo
encontrar, al tratar con potencias, la potencia misma, esto es, la letra c, cuando están dadas

una raíz a y su exponente b. Supongamos, por ejemplo, que a=5 y b=3; de esta manera,

c=5*, y es evidente que debemos tomar la tercera potencia de 5, que es 125, para que así

c=125.

61

215. Ya vimos cómo determinar la potencia c por medio de la raíz a y del
exponente b, pero si queremos revertir la cuestión descubriremos que esto puede hacerse
de dos formas y que hay dos casos que debemos considerar, porque si estuviesen dados dos
de estos tres números a, b, c, y si se requiriese encontrar el tercero, inmediatamente
percibimos que esta cuestión admite tres suposiciones distintas, y consecuentemente tres
soluciones. Ya consideramos el caso en donde a y b fueron los números dados, y es así que
podemos suponer que conocemos c y a, o c y b, y que se requiere determinar la tercera
letra. Antes de seguir, vale señalar una distinción esencial entre la involución y las dos
Operaciones que condujeron a ella. Cuando en el caso de la adición revertimos la cuestión,
sólo pudimos hacerlo de una manera; era indiferente si tomábamos c y a o c y b para los
números dados, porque indiferentemente podemos escribir a+b o b+a. Fue lo mismo
con la multiplicación; pudimos tomar, a voluntad, las letras a y b una por la otra y la
ecuación ab=c es exactamente la misma que ba=c.

Sin embargo, en el cálculo de potencias no sucede lo mismo, y de ninguna manera
EE b A ZA SS
podemos escribir b* en lugar de a”. Un solo ejemplo será suficiente para mostrar esto:

sean a=5 y b=3; tenemos a” =5*=125. Pero b“=3*=243; dos resultados muy

distintos.

62

SECCIÓN H
DE LOS DISTINTOS MÉTODOS PARA CALCULAR
CANTIDADES COMPUESTAS

CAPÍTULO I
DE LA ADICIÓN DE CANTIDADES COMPUESTAS

216. Cuando dos o más expresiones consistentes en varios términos han de ser
añadidas, solemos representar esta Operación meramente con signos, poniendo cada
expresión entre paréntesis y conectándola con el resto por medio del signo +. Si
requiriésemos, por ejemplo, añadir las expresiones a+b+c y d+e+ f , representamos la
suma así:

(a+b+c)+(d+e+f).

217. Es evidente que esto no equivale a realizar la adición, sino únicamente a
representarla. Pero al mismo tiempo vemos que, para llevarla a cabo realmente, sólo
tenemos que dejar fuera los paréntesis, porque como el número d +e+ f ha de ser añadido
al otro, sabemos que esto se hace uniéndole primero +d, después +e, y después + f', lo
que da la suma a+b+c+d+e+f.

El mismo método ha de observarse si cualesquiera de los términos están afectados
por el signo -; deben ser unidos de la misma forma por medio de su signo adecuado.

218. Para hacer esto más evidente, consideremos un ejemplo en los números puros.
Se propone añadir la expresión 15-6 a 12-—8. Si comenzamos por añadir 15, tendremos
12-8+15, pero esto fue añadir demasiado, porque sólo teníamos que añadir 15—6, así
que es claro que 6 es el número que hemos añadido de más. Quitemos, pues, este 6 al
escribirlo con el signo negativo, y así tendremos la suma verdadera: 12-8+15-—6, que
muestra que las sumas se encuentran al escribir todos los términos, cada uno con Su signo
adecuado.

219. Si se requiriese, pues, añadir la expresión d —-e-— f a a-b+c, expresaríamos
la suma como sigue:

a-=b+c+d-e-f,

63

señalando que no importa en qué orden escribamos estos términos. Su lugar puede ser
cambiado a placer siempre que se conserven sus signos. Por ejemplo, esta suma podría

escribirse así:

c-e+a-f+d-b.

220. A menudo sucede que las sumas representadas de esta manera pueden ser
reducidas considerablemente, como cuando dos o más términos se destruyen entre sí; por
ejemplo, si en la misma suma encontramos los términos +a=a o 3a-4a+a, o cuando
dos o más términos pueden ser reducidos a uno. Ejemplos de esta segunda reducción son:
3a+2a=5a;, Tb-B3b=+4b;, —6c+10c=+4c; 5a-8a=-3a; —“Tb+b=-£b;
=3c-4ec=-—Te; 2a-5a+a=-2a; —-3b-—5b + 2b =-6b..

Siempre que dos o más términos sean completamente los mismos con respecto a las letras,
su suma puede ser reducida, pero tales casos no deben confundirse con 2aa+3a o
2b* — b*, que no admiten reducción.

221. Consideremos unos cuantos ejemplos más de reducción que inmediatamente
nos llevarán a una verdad importante. Supongamos que se requiere añadir las expresiones
a+b y a—b. Nuestra regla nos da a+b+a-—b; pero a+a=2a y b-b=0, así que la

suma es 2a. Consecuentemente, si añadimos la suma de dos números (a+b) y su
diferencia (a—b) obtenemos el doble del mayor de tales dos números.

Más ejemplos:

3a-2b=c a? —-2aab + 2abb

5b=6c+a — aab + 2abb — b*

4a+3b-"Tc a? — 3aab + 4abb — b?
CAPÍTULO II

DE LA SUSTRACCIÓN DE CANTIDADES COMPUESTAS
222. Si únicamente queremos representar la sustracción, encerramos cada expresión

entre paréntesis y unimos, por el signo -, la expresión a ser sustraída con aquella de la cual

habemos de sustraerla.

64

Cuando sustraemos, por ejemplo, la expresión d —e+ f de la expresión a—b+c,

escribimos la resta así:

(a-b+c)-(d-e+f),
y este método de representación resulta suficiente para mostrar cuál de las dos expresiones
ha de ser sustraída de la otra.

223. Pero si queremos llevar a cabo realmente la sustracción, primero debemos
observar que cuando sustraemos una cantidad positiva +b de otra cantidad a, obtenemos
a—b y, segundo, que cuando sustraemos una cantidad negativa —b de a, obtenemos a+b
, porque liberar a una persona de una deuda es lo mismo que darle algo.

224. Ahora supongamos que se requiere sustraer la expresión b=d de la expresión
a—cC. Primero quitamos b, lo que da a—c—b. Pero esto fue quitar demasiado según la
cantidad d, porque sólo teníamos que sustraer b—d. Debemos, por lo tanto, restaurar el
valor de d y así tendremos a—c—b+d , de donde es evidente que los términos de la
expresión a ser sustraída deben cambiar sus signos y ser unidos, con los signos contrarios, a
los términos de la otra expresión.

225. Por medio de esta regla es fácil, entonces, llevar a cabo la sustracción, porque
sólo tenemos que escribir la expresión de la cual hemos de sustraer tal como está y unirle la

otra sin ningún cambio además del de los signos. Así, en el primer ejemplo, donde se

requería sustraer la expresión d—e+ f de a—b+c, obtenemos a-b+c-d+e-f. Un

ejemplo con números hará esto más claro. Si sustraemos 6-2+4 de 9-3+2,

evidentemente obtenemos 9-3+2-—6+2-4, porque 9-34+2=8, y 6-2+4+4=38, así
que 8-8=0.

226. No estando sujeta la sustracción a ninguna dificultad, sólo debemos observar
que si en la resta encontramos dos o más términos que son completamente similares con
respecto a las letras, tal resta puede ser reducida por las mismas reglas ofrecidas en la
adición.

227. Supongamos que tenemos que sustraer de a+b, o de la suma de dos
cantidades, su diferencia a—b; entonces tendremos a+b=—a+b. Pero a—-a=0 y
b+b=2b, así que la resta buscada es 2b, esto es, el doble de la menor de las dos
cantidades.

228. Los siguientes ejemplos darán lugar a más ilustraciones:

65

aa + ab + bb 3a—4b+5c a? + 3aab + 3abb + b? a +2/b

bb+ab—aa 2b + 4c — 64 a? —3aab + 3abb — b* a -34/b

2aa 9a—-6b+c 6aab + 2b? +5.b
CAPÍTULO II

DE LA MULTIPLICACIÓN DE CANTIDADES COMPUESTAS

229. Cuando sólo requerimos representar la multiplicación, ponemos cada una de
las expresiones a ser multiplicadas dentro de dos paréntesis, y las unimos a veces sin signo
alguno, y a veces poniendo el signo x entre ellas. Por ejemplo, para representar el producto
de las dos expresiones a—b+c y d-e+ f, escribimos

(a=-b+c)x(d-e+f).

Este método para expresar productos es muy recurrido porque inmediatamente
muestra los factores de los que aquellos están compuestos.

230. Pero para mostrar cómo ha de realizarse efectivamente una multiplicación
podemos observar, en primer lugar, que para multiplicar una cantidad como a—b+c por 2,
por ejemplo, cada término debe ser multiplicado por separado por el número, así que el
producto es 2a—2b+2c. Lo mismo aplica con respecto a todos los demás números. Si d
fuese el número por el cual se requiere multiplicar la misma expresión, obtendríamos
ad =bd +cd .

231. Acabamos de suponer que d es un número positivo, pero si el factor fuese un
número negativo como —e, debe aplicarse la regla establecida antes, a saber, que dos
signos contrarios multiplicados juntos producen -, y que dos signos iguales dan +.

Tendremos, entonces

-ae+be-ce.

232. Para mostrar cómo ha de multiplicarse una cantidad A por una cantidad
compuesta d—e, consideremos primero un ejemplo con números comunes, suponiendo
que A ha de ser multiplicada por 7-3. Ahora, es evidente que aquí requerimos tomar el
cuádruple de A, porque si primero tomamos A siete veces, después será necesario sustraer

3A de tal producto. En general, por lo tanto, si se requiere multiplicar por d-—e

66

multiplicamos la cantidad A primero por d y después por e, y sustraemos este último
producto del primero, de donde resulta dA—eA.
Ahora supongamos que A=a-—b y que esta es la cantidad a ser multiplicada por
d —e ; entonces tendremos
dA = ad — bd
eA =ae-be,
y por consiguiente el producto requerido = ad — bd — ae + be .
233. Como conocemos el producto (a—b)x(d—e)y no podemos dudar de su

precisión, mostraremos el mismo ejemplo de multiplicación bajo la siguiente forma:

a—=b
d-e
ad — bd — ae +be.

Esto muestra que debemos multiplicar cada término de la expresión de arriba por
cada término de la de abajo y que, con respecto a los signos, debemos observar
estrictamente la regla dada antes, una regla que esto confirma por completo si es que
quedaba la menor duda.

234. De acuerdo con esta regla, será fácil llevar a cabo el siguiente ejemplo, que
consiste en multiplicar a+b por a—b:

a+b

a=b

aa + ab

- ab —bb
Producto: aa—bb.

235. Ahora podemos sustituir, por a y b, cualesquiera números determinados, de tal
forma que el ejemplo de arriba nos proporcionará el siguiente teorema: El producto de la
suma de dos números multiplicados por su diferencia es igual a la diferencia de los
cuadrados de tales números. Este teorema puede expresarse así:

(a+b)x(a—-b)=aa—bb.
Y de esto puede derivarse otro teorema: La diferencia de dos números cuadrados

siempre es un producto divisible tanto entre la suma como entre la diferencia de las raíces

67

de tales dos cuadrados; consecuentemente, la diferencia de dos cuadrados nunca puede ser

un número primo.

236. Realicemos ahora algunos otros ejemplos:

2a-3
a+2

D 2aa-3a
+4a-6
2aa+a-=6
4aa —6a +9
2a+3

ID) 8a? -12aa+18a
+12aa —18a + 27
8a* +27

3aa — 2ab — bb
2a—4b
ID) 6a* — 4aab — 2abb
- 12aab + 8abb + 4b*
6a* —16aab + 6abb + 4b*

aa + 2ab + 2bb
aa — 2ab +2bb
a* +2a*b+ 2aabb
—2a*b-— 4aabb — 4ab*
+ 2aabb + 4ab* + 4b*
a* +4b*
2aa — 3ab — 4bb
3aa — 2ab + bb
6a* -9a*b —12aabb
—4a*b + 6aabh + 8ab*

+ 2aabb — 3ab? — Ab?

6a* —-13a*b — 4aabb + 5ab? — 4b*

68

aa +bb+cc=ab=ac =bc
a+b+c

VD a? + abb+ acc — aab — aac — abc
aab + b? + bec — abb — abc — bbc
aac + bbc +c* — abc — acc —bec

a? -3abc+b?+c?

237. Cuando tenemos más de dos cantidades a multiplicar, fácilmente se
comprenderá que, después de haber multiplicado dos de ellas, debemos multiplicar tal
producto por una de las [cantidades] que quedan, y así sucesivamente. Es indistinto qué
orden observemos en tales multiplicaciones.

Propongamos, por ejemplo, encontrar el valor o el producto de los siguientes cuatro
factores:

IT (a+b) Il: (aa + ab + bb) TIl: (a—-b) YV: (aa—ab+bb).

Primero multiplicamos los factoes 1 y II:

Il: aa+ab+bb

Ll a+b

a* + aab + abb

+ aab + abb + b*

LIL: a? + 2aab + 2abb+b?.

Después multipliquemos los factores III y IV:

IV: aa—ab + bb

It. a-b

a? —a*b+abb

- a b+abb-b*

HLIV: a? — 2aab + 2abb—b?.

Queda por multiplicar el primer producto 1. por este segundo producto IHI.IV:

LIL: a? + 2aab + 2abb + b?

HLIV: a? — 2aab + 2abb —b*

69

a" +2a*b+2a*bb + a'b*

- 2a7b-4a*bb—4a*b? —2aab*

2a*bb + 4a*b? + 4aab* + 2ab*

- ab? —2aab* —2ab? —b*

a? — b* . Y este es el producto requerido.

238. Hagamos el mismo ejemplo pero cambiando su orden, multiplicando primero
los factores I y MI y después Il y IV.

TI a+b

It: a-b

aa + ab

-ab—bb

LOT: aa—bb

Il: aa+ab+bb

IV: aa— ab +bb

a* + a*b+aabb

- a*b—aabb — ab*

aabb + ab? + b*

ILIV: a* + aabb+0?.

Después, multiplicando los dos productos 1.1 y LIV,

ILIV: a* + aabb +b*

LOT aa —bb

a" +a*bb+aab*

a*bb—aab* — b*

tenemos a* —b?, que es el producto requerido.

239. Podemos hacer este cálculo todavía de otra manera más, multiplicando primero
el primer factor por el cuarto y después el segundo por el tercero.

IV: aa—ab + bb

TL a+b

a? — aab + abb

aab — abb + b*

LIV: a? +0?

70

ll: aa+ab+bb

Il: a-b

a? + aab + abb

- aab — abb — b*

IE a? —b?.

Queda por multiplicar el producto I.IV y ILIHL.
LIV: a?+b*

ILIL: a? -p*

al +a*b?

ab? -p*

y obtenemos a* —b* al igual que antes.

240. Es apropiado ilustrar este ejemplo con una aplicación numérica. Sean a=3 y

b=2; entonces tendremos a+b=5 y a—b=1; además, aa=9,ab =6,bb=4. Por lo

tanto, aa+ab+bb=19 y aa—ab+bb=". Así que el producto requerido es el de
5x19x1x7, que es 665. Ahora bien, a* =729 y b*=64; consecuentemente, el producto

requerido es a* —b*=665, tal como ya vimos.

CAPÍTULO IV
DE LA DIVISIÓN DE CANTIDADES COMPUESTAS

241. Cuando queremos simplemente representar la división, hacemos uso de la
marca usual de las fracciones, que es escribir el denominador bajo el numerador
separándolos por una línea, o bien encerrando cada cantidad entre paréntesis y poniendo

dos puntos entre el divisor y el dividendo. Si se requiriese, por ejemplo, dividir a+b entre

E . a+b
c+d, representaríamos el cociente así
c+

, de acuerdo con el primer método, y así

(a+b):(c+d) de acuerdo con el segundo. Cada expresión se lee como a+b dividido
entre c+d.
242. Cuando se requiere dividir una cantidad compuesta entre una [cantidad]

simple, dividimos cada término por separado. Por ejemplo, 6a—8b+4c dividido entre 2

Ji

da 3a-4b+2c, y (aa —2ab): (a) =a-—2b. Del mismo modo,

(a? — 2aab + 3abb) : (a) = aa — 2ab + 3bb;(4aab — 6aac + 8abc) :(2a) = 2ab — 3ac + Abc;
(Oaabe —12abbc +15abcc) : (3abc) =3a — 4b+5c, etc.

243. Si sucede que un término del dividendo no es divisible por el divisor,
representamos el cociente por una fracción, como en la división de a+b entre a, que da

1+ E . Del mismo modo, (aa—ab+bb):(aa)=1- y + en . Por la misma razón, si
a a ad

bd D A SS
dividimos 2a+b entre 2 obtenemos a E y aquí podemos notar que podemos escribir

y en lugar de zo porque > veces b es igual a 7 De igual forma, - es lo mismo que

2 y E es lo mismo que e etc.
3 3 3

244. Pero cuando el divisor es por sí mismo una cantidad compuesta, la división se
vuelve más difícil. A veces esto sucede cuando menos lo esperamos, pero si no puede
llevarse a cabo debemos contentarnos con representar el cociente por una fracción en la
forma en que lo hemos descrito. Comencemos por considerar algunos casos en donde la
divisón real es posible.

245. Supongamos que se requiere dividir el dividendo ac —bc entre el divisor a—b
; entonces el cociente debe ser tal que, cuando sea multiplicado por el divisor a—b,
produzca el dividendo ac —bc. Ahora bien, es evidente que este cociente debe incluir a c,
porque sin él no podríamos obtener ac. Para ver si c es todo el cociente que necesitamos,
sólo tenemos que multiplicarlo por el divisor y ver si tal multiplicación produce todo el
dividendo o solamente una parte de él. En el caso presente, si multiplicamos a—b por c,
tenemos ac—bc, que es exactamente el dividendo, así que c es todo el cociente. No es
menos evidente que (aa+ab):(a+b)=a; (3aa—2ab):(Ba—-2b)=a ;
(6aa —9ab) : (2a—3b) =3a , etc.

246. De esta manera no podemos fallar en encontrar una parte del cociente; si, por
lo tanto, lo que hemos encontrado, cuando lo multiplicamos por el divisor, no agota al

dividendo, sólo tenemos que dividir el remanente de nuevo entre el divisor para obtener

12

una segunda parte del cociente, y continuar con el mismo método hasta que hayamos
encontrado todo el cociente.

Como ejemplo, dividamos aa +3ab + 2bb entre a+b. Es evidente, primero, que el
cociente incluirá al término a, porque de otra forma no obtendríamos aa. Ahora, de la
multiplicación del divisor a+b por a surge aa+ ab, cuya cantidad sustraída del dividendo
deja 2ab +2bb como remanente. Este remanente también debe ser dividido entre a+b, y
es claro que el cociente de esta división debe contener al término 2b. Ahora, 2b
multiplicado por a+b produce exactamente 2ab+2bb ; consecuentemente, a+2b es el
cociente requerido que, multiplicado por el divisor a+b, debe producir el dividendo
aa + 3ab + 2bb . Veamos toda la operación:

a +b)yaa + 3ab + 2bb(a + 2b

aa + ab

2ab + 2bb

2ab + 2bb

0

247. Esta operación será más fácil si elegimos uno de los términos del divisor para
ser escrito primero y después, al acomodar los términos del dividendo, comenzamos con
las potencias más grandes de tal primer término del divisor. Este término era a en el

ejemplo anterior. Los siguientes ejemplos aclararán la operación.

a—b)a?* — 34ab + 3abb — db (aa — 2ab + bb
a* —aab

= 2aab + 3abb

- 2aab + 2abb

abb —b?

abb —b?

0

a+bjaa—-bb(a-b
aa + ab

- ab —bb

- ab —bb

0

73

3a — 2b)18aa — 8bb(6a + 4b
18aa —12ab

12ab — 8bb

12ab — 8bb

0

a+b)ja? +b*(aa-—ab + bb
a” +aab

— aab + b*

= aab — abb

abb +b*

abb + b*

0

2a—b)B8a* —b*(4aa + 2ab + bb
8a* — 4aab

4aab — b?

4aab — 2abb

2abb —b*

2abb — b?

0

aa—2ab+bb)ja* — 4a*b + 6aabb — 4ab? + b*(aa — 2ab + bb

a* -2a*b + aabb
-2a*b + 5aabb — 4ab*
—2a*b+4aabb — 2ab?
aabb—2ab? + b*
aabb —2ab” +b*

0

74

aa —2ab + 4bb)a* + 4aabb +16b* (aa — 2ab + 4bb
a* -2a*b+ 4aabb

2a*b +16b*

2a*b — 4aabb + 8ab*

4aabb —8ab? +16b*

4aabb —8ab* +16b*

0

aa—2ab +2bb)a* + 4b*(aa + 2ab + 2bb
a* -2a*b+2aabb

2a*b — 2aabb + 4b*

2a*b — 4aabb + 4ab*

2aabb — 4ab” +4b*

2aabb — 4ab* + 4b*

0

1-2x+x01-5x+10xx-10x +5x*—x (1-3x + 3xx -x0
| 2EAAY

-3x+9xx—10x*

—3x+6xx—3x*

3xax— Tx +5x%

3xx— 6x7 +3x*

+2
+21
0

CAPÍTULO V
DE LA RESOLUCIÓN DE FRACCIONES EN SERIES INFINITAS

248. Cuando el dividendo no es divisible por el divisor, el cociente se expresa, como

ya vimos, con una fracción. Así, si tenemos que dividir 1 entre 1— a, obtenemos la fracción

19

ET Esto, sin embargo, no nos impide intentar la división de acuerdo con las reglas
=a

ofrecidas y continuar tanto como queramos. No dejaremos de encontrar el verdadero

cociente, aunque bajo distintas formas.

249. Para probar esto, dividamos en realidad el dividendo 1 entre el divisor 1-a

la PALA
l-a

l-a
remanente a

o, 1-0) +a+ E

remanente aa

Para encontrar un mayor número de formas, sólo tenemos que seguir dividiendo aa

entre l—a:

3
1- ajaaíaa + 3

aa—a

l-a

Y así sucesivamente.

76

, 1 z
250. Esto muestra que la fracción qa puede ser expuesta bajo todas las formas
=a
a aa a? a*
siguientes: ID) 14+-—; (M 1+a+-—:; ID) 1+a+aa+--—; IV) ¡CAE E,
l-a l=a l-a l-a
9

a
v) I+a+aa+a ra +, eto.
-a

. ; , a
Ahora, al considerar la primera de estas expresiones, que es 1+ E y recordando

Ea

=a a l-a a l-a+a 1
, tenemos 1+ + = =

. Si
a l-a l-a l-a l=-a l=-a

que 1 es lo mismo que

Ea

Ñ , o aa y
seguimos el mismo proceso con respecto a la segunda expresión 1+a Me esto es, si
=a

ñ y z z a ,
reducimos la parte integral 1+a al mismo denominador 1- a, tendremos , y si le

DA ea aa l-aa+aa
añadimos + -—— tendremos -——————

, es decir, A
l-a l-a l-a

3)
a a a ,
En la tercera expresión 1+a+aa ca. los enteros reducidos al denominador
-a
3 3

: en A l z
, y sia esto añadimos la fracción qn tendremos e De aquí se
=a =a =a

1-a hacen

¿ ; ; 1 La
sigue que todas estas expresiones son iguales en valor a a la fracción propuesta.
=a

251. Siendo este el caso, podemos continuar la serie tanto como queramos sin tener

que realizar más cálculos. Tendremos, pues
1 3 4 5 6 7 a . o ;
e =l+a+aa+a + a + a + a r+a + ra y podemos continuar así sin final. Por
esta razón puede decirse que la fracción propuesta ha sido resuelta en una serie infinita, que
es l+a+aa+r a +a tra +a a +ad+a +a +a*+a”, etc., hasta el infinito, y hay
suficientes razones para mantener que el valor de esta serie infinita es el mismo que el de la
O |
fracción ——.
l-a
252. En un principio, lo que hemos dicho podría parecer sorprendente, pero la

consideración de casos particulares hará más fácil su comprensión. Supongamos, en primer

Jl

. pl Di 1
lugar, que a=1; entonces nuestra serie será 1+1+1+1+1+1+1, etc. La fracción Pe, a la
-a

. 1 ; 1 y oi
cual debe ser igual, se vuelve o Ya vimos antes que 0 es un número infinitamente

grande, lo que se confirma aquí de una manera satisfactoria.

Si suponemos que a=2, nuestra serie se vuelve =1+4+2+4+8+16+32464, etc., hasta

Ed a 1 1. : ; :
el infinito, y su valor tiene que ser io esto es, Al =-—1, lo que a primera vista parecerá

absurdo. Pero debemos observar que si queremos detenernos en cualquier término de esta
serie, no podemos hacerlo sin unir la fracción que queda. Supongamos, por ejemplo, que

nos detenemos en 64 después de haber escrito 1+2+4+8+16+32+64; debemos unir la

., 128 128
fracción ,0 ;
1-2 -1

o —128, y por tanto tendremos 127 —128, que en realidad es —1.

Si tuviésemos que continuar la serie sin entreacto alguno, en realidad la fracción ya
no sería considerada, pero la serie continuaría.

253. Estas son las consideraciones necesarias cuando asumimos para a números
mayores que la unidad. Pero si suponemos que a es menor que 1, todo se vuelve más

inteligible.

1 ;
Por ejemplo, sea a =>: Entonces tendremos e” ===2, lo que será

E A O OA E

++ —+—+—+ , etc., hasta el infinito. Ahora,
4 8 16 32 64 128

, id z 1
igual a la siguiente serie: 1+ 5 +

ó a es ' 1 ; 1
si tomamos sólo dos términos de esta serie, tenemos 1+ > y se requiere 2 para que sea

. 1 , dd ; 1 o
igual a ae Si tomamos tres términos, se requiere 7 porque la suma es E Si

Buda 4 nda 2 1
tomamos cuatro términos tenemos > y la deficiencia es sólo N Vemos, pues, que entre

más términos tomemos, menor se vuelve la diferencia, y que, consecuentemente, si

continuamos hasta el infinito, no habrá diferencia alguna entre la suma de la serie y 2, el

valor de la fracción Ed z
l-a

78

= ss = ja que, reducida
q

he

1 e 1 s

254. Sea a= 3 . Entonces nuestra fracción ——— será
-a

1

UW|Re

tea 1 1 1
a una serie infinita, se vuelve 1+—+->—+ +—+ ,
3 9 27 8l 243

etc., y que es consecuentemente

y 1
igual a ——.
4

. 1 1 :
Cuando tomamos dos términos, tenemos 1 y nos falta PS Si tomamos tres
a 4 E | N 13
términos, tenemos Lo y nos faltará 19 Tomemos cuatro términos y tendremos 7 y la

z ; 1 , Ñ
diferencia es er Ya que el error siempre se vuelve tres veces menos, al final debe
desaparecer.

255. Supongamos que a=> tendremos = =3 y la serie

de
l-a

1+ E + E + E + 10 + E , etc., hasta el infinito. Tomando primero e el error es 10
3 9 27 8l 243 3 3

10 bd 1 8 Sia
tomando tres términos, que hacen Zo , el error es g* tomando cuatro términos tenemos

11 16
2—, y el error es —.
27 27

dl

256. Si a=z, la fracción es = =1> y la serie se vuelve

=.a
|
RA] uu]

R|_

E : + l + l , etc. Los primeros dos términos, haciendo 1+1. darán Es como
4 16 64 256 4 12

A A ] > 1
error, y tomando un término más tenemos TÍ esto es, sólo un error de a

257. Del mismo modo, podemos resolver la fracción E en una serie infinita al
+4

dividir efectivamente el numerador 1 entre el denominador 1+a como sigue:

79

1+ad1l-a+aa—-a +a'

l+a
-a
-a-aa
aa
aa+a?
==
a?

a +a
-a?, etc.

De aquí se sigue que la fracción es igual a la serie 1-a+aa-a +at-a+at-a”,

+a
etc.
258. Si hacemos que a=1, tenemos esta notable comparación:
— =5=1 1+1-1+1-1+1-—1, etc. hasta el infinito. Esto podría parecer bastante
+a

contradictorio, porque si nos detenemos en —1 la serie dará O, y si paramos en +1 dará 1.
Pero esto es precisamente lo que resuelve la dificultad, porque como debemos seguir hasta

el infinito sin detenernos en —1 ni en +1, es evidente que la suma no puede ser ni 0 ni 1,

: 1
sino que el resultado debe estar entre estos dos, y por lo tanto ser = eN

pe lo que
a >
2

1 Es y
259. Hagamos ahora que a = as entonces nuestra fracción será

debe por tanto expresar el valor de la serie 1 E qe a a + : , etc., hasta el

Ze A 1, 82,64

infinito. Si únicamente tomamos los primeros dos términos de esta serie, tenemos > que
E ¡UA a 3 1
es muy pequeño por 6 . S1 tomamos tres términos tenemos 7” que es muy grande por D'

: rta 5 E 1
Si tomamos cuatro términos tenemos 8 , que es muy pequeño por 24 , etc.

80

e

1 ez 2
260. Supongamos, de nuevo, que a = 3 ; entonces nuestra fracción será = =
1+

W|Re
A|u

' ; 1.1 1. 1 1
, y esto debe ser igual a la serie 1- + + +
3 9 27 8l 243 729

, €tc., continuada hasta el
infinito. Ahora bien, si consideramos solamente dos términos, tenemos —, que es muy
pl 1 a 7 1 E
pequeño por 0 Tres términos hacen 9* que es muy grande por 36 Cuatro términos
E 1 a A
hacen 7 que es muy pequeño por 108 y así sucesivamente.

261. La fracción o también puede resolverse en una serie infinita de una manera
+4

distinta, a saber, al dividir 1 entre a+1 como sigue:
1 1 1 1

a+ DE + +
a ad a a a

1

81

Consecuentemente, nuestra fracción es igual a la serie infinita

a+l

1 EMO IO O E

A etc. Ahora hagamos que a=1 y tendremos la serie

1 j ;
1-1+1-1+1-1, etc., = >> tal como antes. Y si suponemos que a=2 tendremos la serie

1.1 1 1 1 1 1
+ + , etc... =—.
2.44 8 16 32 64 3

en una serie infinita,

262. De la misma forma, al resolver la fracción general
a+

tendremos

3
AE a qe
a 0aQ A a

bc
c+ —

_be

e
ña

ES
a?
“€
a?
C
4

=
Eh
a

>
E

pb

e be bbc be
con la serie ia 7» ete.,
a+b a aa 4 a

De donde se desprende que podemos comparar

hasta el infinito.
e Al
a+b 4+2 6 2

Sean a=2,b=4,c=3. Entonces tendremos

etc.

82

Sean a=10,b=lLc=11. Entonces tendremos

C 11 11 11 11 11
= =]= + A etc
a+b 10+1 10 100 1000 10000

Ñ Ñ ne q Ñ 11
Si consideramos únicamente un término de esta serie, tenemos ——, que es muy

Las pad 99 , pa
grande por 0 si tomamos dos términos tenemos 00 que es demasiado pequeño por

¡A qt 1001 z 1
——; SI tomamos tres términos tenemos , que es demasiado grande por ———, etc.
100 1000 1000

263. Cuando haya más de dos términos en el divisor, podemos continuar la división

hasta el infinito de la misma manera. Así, si se propusiese la fracción -——————, la serie
-a+aa4a

infinita, a la que es igual, sería la siguiente:

l-a+aad+a-a*—-at+al+a”, etc.

l-a+aa
a-aa
3
a-aa+a
3
-a
3 4 5
-a+a -a
5
-a+a
6
za ed =ag
6
a
a a
7 8
a -a
7 8 9
a -a+a
.z 1 3 4 6 7 9 10
Tenemos, por lo tanto, la ecuación —————=1l+a-a*-a+ar+a -a a,

-a+ad
etc. Aquí, si hacemos que a=1, tenemos 1=1+1-1-1+1+1-1-1+1+1, etc., que

contiene el doble de la serie de antes (1-1+1-1+1, etc.). Ahora, como hemos encontrado
1 2
que esto es = 7 no resulta sorprendente que encontremos >> O 1, para el valor de aquello

que recién hemos determinado.

83

Hagamos que a= > y entonces tendremos la ecuación

1.4 de dl: dd 1 1
=-=1+ E ele:

3.3 2.8 16 64 128 512

4

1 Es
Ahora supongamos que a o entonces tendremos la ecuación

a bi Es al 1

. ===1+ + , etc. Si tomamos los cuatro términos principales de esta
DN 32-31 729
9

: 104 : 1
serie tenemos ——, que sólo es -——— menor que —.
81 567 7

2
Supongamos, de nuevo, que a= a Entonces tendremos

9.2 8 16 64

S ===1+ + , €tc. Esta serie, por consiguiente, debe ser igual a la
E 3 27. 8l 729
9

15 63

+ , que debe
3 27 8l 729

anterior, y es así que, sustrayendo una de la otra, obtenemos

ser = 0. Estos cuatro términos sumados dan — Sí

264. El método recién expuesto sirve para resolver, de manera general, todas las
fracciones en series infinitas y resulta, por lo tanto, de gran utilidad. Además, hemos de
observar que una serie infinita, aunque nunca cesa, puede tener un valor determinado.
Podríamos añadir que de esta rama de las matemáticas han surgido invenciones de máxima

importancia sobre las cuales requerimos la mayor atención.

CAPÍTULO VI
DE LOS CUADRADOS DE CANTIDADES COMPUESTAS

265. Cuando requerimos encontrar el cuadrado de una cantidad compuesta, sólo
tenemos que multiplicarla por sí misma, y entonces el producto será el cuadrado requerido.

Por ejemplo, encontramos el cuadrado de a +b de la siguiente forma:

84

a+b
a+b
aa + ab
ab + bb

aa+2ab +bb.

266. Así que, cuando la raíz consiste en dos términos añadidos, como a+b, el
cuadrado comprende, primero, al cuadrado de cada término, a saber, aa y bb, y segundo,
al doble del producto de los dos términos, a saber, 2ab. De esta forma, la suma
aa+2ab+bb es el cuadrado de a+b. Sean, por ejemplo, a=10 y b=3, es decir,
requiérase encontrar el cuadrado de 13; entonces tendremos 100+60+9 o 169.

267. Por medio de esta fórmula es fácil encontrar los cuadrados de los números - sin
importar qué tan grandes sean - si los dividimos en dos partes. Para encontrar, por ejemplo,
el cuadrado de 57, consideremos que este número es =50+7; de aquí concluimos que su
cuadrado es = 2500 + 700 + 49 = 3249 .

268. Es evidente, pues, que el cuadrado de a+1 será aa+2a+1. Ahora bien, como
el cuadrado de a es aa, encontramos el cuadrado de a+1 al añadirle 2a+1 [a aa], y
debemos observar que 2a +1 es la suma de las dos raíces a y a+1.

Así, siendo 100 el cuadrado de 10, el de 11 será 100+21. Siendo 3249 el cuadrado
de 57, el de 58 es 3249+115=3364. El cuadrado de 59=3364+117 =3481, y el de
60 =3481+119 =3600, etc.

269. El cuadrado de una cantidad compuesta como a+b está representado de esta
manera: (a+b)”. Tenemos, pues, que (a+b)? =a? +2ab+b?, de donde deducimos las
siguientes ecuaciones: (a+1)" =aa+2a+1; (a+2) =aa+4a+4; (a+3)Y =aa+60+9,
(a+4) =aa+8a+16, etc.

270. Si la raíz es a—b, su cuadrado es aa—2ab+bb, que contiene también los
cuadrados de los dos términos pero de una manera tal que debemos tomar, de su suma, el
doble del producto de tales dos términos.

Sean, por ejemplo, a=10 y b=-1; entonces el cuadrado de 9 será

=100-20+1=81.

85

271. Debido a que tenemos la ecuación (a —byY =aa—2ab+bb, tendremos que

(a-1)? =aa-2a+1. El cuadrado de a—1 lo encontramos, por lo tanto, al sustraer de aa
la suma de las dos raíces a y a—1, a saber, 2a—1. Sea, por ejemplo, a =50. Tenemos
que aa =2500 y a—1=49; entonces 49” = 2500-99 = 2401.

272. Lo que hemos dicho también podemos confirmarlo e ilustrarlo por medio de

. z OS z
fracciones, porque si tomamos como raíz a (lo que da 1), los cuadrados serán:

0.4 sU12
+ —+—=>—, esto es, 1.
23 20 29 ZO
Además, el cuadrado de Lai (o de ds será Es .. PE == EN
2 3 6 4 3 9 36

273. Cuando la raíz consiste en un mayor número de términos, el método para
determinar el cuadrado es el mismo. Encontremos, por ejemplo, el cuadrado de a+b+c.

a+b+c

a+b+c

aa + ab + ac + bc

ab + ac +bb + bc +cc

aa +2ab + 2ac+bb+2bc+cc.
Vemos que incluye, primero, al cuadrado de cada término de la raíz, y segundo, a los
productos dobles de tales términos multiplicados de dos en dos.

274. Para ejemplificar esto, dividamos el número 256 en tres partes: 200+50+6.

Su cuadrado estará entonces compuesto de las siguientes partes:

400 256
2500 256
36 3
20000 1536
2400 1280
600 512
65536 65536

que es evidentemente igual al producto de 256x256.
275. Cuando algunos de los términos de la raíz son negativos, encontramos el
cuadrado a partir de la misma regla, pero debemos tener cuidado con qué signos

86

prefijamos a los productos dobles. Así, siendo aa +bb+cc-—2ab-—2ac + 2bc el cuadrado

de a—b-—c, si representamos al número 256 como 300-— 40-— 4, tendremos

Partes positivas Partes negativas
+90000 — 24000

1600 — 2400

320 ES

16 - 26400

+91936

— 26400

65536, el cuadrado de 256, tal como antes.

CAPÍTULO VII
DE LA EXTRACCIÓN DE RAÍCES APLICADA A CANTIDADES COMPUESTAS

276. Para poder ofrecer una cierta regla de esta operación, debemos considerar con
atención el cuadrado de la raíz a+b, que es aa+2ab+bb, para así poder encontrar
recíprocamente la raíz de un cuadrado dado.

277. Por lo tanto, primero debemos considerar que, como el cuadrado aa + 2ab + bb
está compuesto de varios términos, lo cierto es que la raíz también comprenderá más de un
término, y que, si escribimos el cuadrado de tal forma que las potencias de uno de los
términos, como a, puedan decrecer continuamente, el primer término será el cuadrado del
primer término de la raíz. Y como en este caso el primer término del cuadrado es aa, lo
cierto es que el primer término de la raíz es a.

278. Habiendo encontrado, pues, el primer término de la raíz, esto es, a, debemos
considerar el resto del cuadrado, a saber, 2ab+bb, para ver si de él podemos derivar la
segunda parte de la raíz, que es b. Ahora bien, este resto 2ab +bb puede ser representado
por el producto (2a +b)b . Por esto es evidente que, el resto teniendo dos factores 2a+b y
b, encontraremos al último, b, que es la segunda parte de la raíz, al dividir el resto 2ab + bb
entre 2a+b.

279. Así que el cociente que surge de la división del remanente de arriba entre

2a+b es el segundo término de la raíz requerida. Ahora, en esta división observamos que

87

2a es el doble del primer término a, que ya está determinado. Es así que, aunque el
segundo término nos sea desconocido, y es necesario que por ahora dejemos ese espacio
vacío, podemos intentar la división, porque en ella sólo atendemos al primer término 2a.
Tan pronto como encontremos el cociente, que aquí es hb, debemos ponerlo en el lugar
vacío, y de esta forma completar la división.

280. Por consiguiente, el cálculo por el cual encontramos la raíz del cuadrado
aa +2ab + bb puede representarse como sigue:

aa + 2ab +bb(a +b
aa

2a + b)2ab + bb
2ab + bb

0.

281. Del mismo modo podemos encontrar la raíz cuadrada de otras cantidades
compuestas siempre que éstas sean cuadrados:

aa + 6ab + 9bb(a + 3b
aa

2a + 3b)6ab + 9bb
6ab +9bb

0.

4aa — 4ab + bb(2a—b
4aa

4a—b)- 4ab + bb

— 4ab + bb

0.

9pp +24 pq +16qq(3 p + 4q
9pp

6 p + 4q)24 pq +16qq

24 pq +16qq

0.

88

25xx — 60x + 36(5x —6

DIRK

10x—6)-—60x +36

—60x +36

O.

282. Si queda un resto después de haber hecho la división, es una prueba de que la
raíz está compuesta por más de dos términos. Entonces consideramos los dos términos ya
encontrados como formando la primera parte, y nos abocamos a derivar del resto la otra
[parte] de la misma manera que encontramos el segundo término de la raíz. Los siguientes
ejemplos aclararán esta operación:

aa +2ab—2ac—2bc+bb+ccla+b=c

aa

2a + b)ab — 2ac — 2bc + bb+cc

2ab + bb

2a+2b-=c)-2ac-— 2bc +cc

= 2ac=—2bc +cc

0.

a*+2a*+300+2a+l(a0+a+1
a?

2aa + a)2a? + 304

2a? +44
2aa+2a+1)a0+2a+1
2aa+2a+1

0.

a* —4a*b +8ab* + 4b*(aa — 2ab — 2bb
a?

2aa — 2ab) — 4a*b + 8ab* + 4b*

—4a*b + 4aabb

2aa — 4ab — 2bb) — 4aabb + 8ab* + 4b*
— 4aabb + 8ab* + 4b*

O.

89

a* —6a*b+15a*bb-20a*b* +15aab* —6ab? +b%(a* — 3aab + 3abb —b*

a

2a? —-3aab) - 6a*b+15a*bb

— 64b +9a*bb

2a? — 6aab + 3abb)6a*bb — 20a*b? +15aab*

6a*bb —18a*b* + 9aab*

2a? — 6aab + 6abb — db?) - 2a*b* + 6aab* — 6ab? + b*

-2a*b* + 6aab* —6ab” +1"

O.

283. De la regla recién explicada fácilmente deducimos el método que se enseña en
los libros de aritmética para la extracción de una raíz cuadrada. Algunos ejemplos de esto,

en números, son:

529(23
4
43)129
129

0.

1764(42
16
82)164
164

0.

2304(48
16
88)704
704

0.

90

4096(64
36
124)496
496

0.

9604(98
81
188)1504
1504

0.

15623125

1

22)56

44

24511225

1225

0.

998001(999

81

18911880

1701

198917901

17901

O.

284. Pero si todavía queda un resto después de toda esta operación, es una prueba de
que el número propuesto no es un cuadrado, y que, consecuentemente, su raíz no puede ser
asignada. En casos así hacemos uso del signo radical empleado anteriormente. Este signo se

escribe antes de la cantidad, y ésta se pone entre paréntesis o bajo una línea. De esta forma,

la raíz cuadrada de aa +bb está representada por . (aa+bb) o por .aa+bb,y .(1— xx)

o .1—xx expresa la raíz cuadrada de 1-— xx. En lugar de este signo radical podemos

91

de : 1 ;
utilizar el exponente fraccional > y representar la raíz cuadrada de aa+bb, por ejemplo,

1
como (aa + bby .

CAPÍTULO VIII
DEL CÁLCULO DE CANTIDADES IRRACIONALES

285. Cuando se requiere añadir dos o más cantidades irracionales, lo hacemos de
acuerdo con el método expuesto antes, esto es, escribiendo todos los términos en sucesión

cada uno con su signo apropiado. Con respecto a la abreviación, debemos notar que en

lugar de .a+-.a, por ejemplo, escribimos 2 a; y que .a= “a=0 porque estos dos
términos se destruyen entre sí. De esta forma, las cantidades 3+ 1) y 1+ Z, añadidas

juntas, hacen 4+2.2 0 4+ 8; la suma de 5+ 3 y 4- 3 es 9, y la de 2 3+34/2 y

3412.68 3/3 4242:
286. La sustracción también es muy fácil, porque sólo tenemos que añadir los
números propuestos cambiando antes sus signos. El siguiente ejemplo nos mostrará esto.

Sustraigamos el número de abajo del de arriba:

4-424+21/3 3/5 4446
1+ 2/2 - 2/3 —-5/5 +66
3-32 443 +2./5 —2/6

287. En el caso de la multiplicación debemos recordar que a multiplicado por
a produce a, y que si los números que siguen al signo Y son distintos, como a y b,

entonces tenemos - ab para el producto de a multiplicado por b. Después de esto

será fácil desarrollar los siguientes ejemplos:

N]|

1+

l+,

N| N]|

¡a
TE IA)
142/2249 =34094/2.

92

4+2-/2

2/2

8+4.2

-4./2-4

8-4=4,

288. Lo que hemos dicho aplica también para cantidades imaginarias, y únicamente

debemos observar que a multiplicado por =4 produce —a.

Si se requiriese encontrar el cubo de —1+ A debemos tomar el cuadrado de tal

número y después multiplicar tal cuadrado por tal número. Veamos, pues, la operación:

+43

=+4=3

1-.-3

=4/23-3
1-21/-3-3=-2-2,/-3
144/23

A

-2./-3+6

2+6=8.

289. En la división de números irracionales, sólo tenemos que expresar las

cantidades propuestas en la forma de una fracción; después, esto puede cambiarse a otra
expresión que tenga un denominador racional. Y esto porque si el denominador es a+-b,

por ejemplo, y si multiplicamos tanto a éste como al numerador por a— b, el nuevo

denominador será aa—b, en donde no hay signo radical alguno. Propóngase dividir

3+2.2 entre 1+ 2; primero tendremos = e - . Al multiplicar los dos términos de la
+

fracción por 1— 2 tendremos, como numerador,

93

y como denominador,
1+-/2
1-2

sl

Nuestra nueva fracción es, por tanto, , y si, de nuevo, multiplicamos sus

dos términos por —1, tendremos, como numerador, .2 +1, y como numerador +1. Ahora

bien, es fácil mostrar que .2+1 es igual a la fracción propuesta = S > , porque 2 +1
E

multiplicado por el divisor 1+ 2 de la siguiente forma
1+.2
1+/2
1+-/2
+./2+2
produce 1+2.2+2=3+2.2.

Un ejemplo más: 8-5. 2 dividido entre 3-22 hace a : > . Multiplicando los

dos términos de esta fracción por 3+ 2 A tenemos, como numerador,
85.2
3+2,2
24-15.2
+16/2 -20
24+,2-20=4+2,

94

y como denominador,

3-2.2

3+2.2

9-62

+6.2-8

9-8=1,

Consecuentemente, el cociente será 4+- 2. La verdad de esto puede probarse de la
siguiente forma:

4+4/2

3-2/2

12+34/2

-8.2-4

12-5/2-4=8-54/2.

290. Del mismo modo, podemos transformar tales fracciones en otras que tengan

denominadores racionales. Si tenemos, por ejemplo, la fracción 52.16 y multiplicamos

su numerador y su denominador por 5+2 6, la transformamos en SS - de =5+2.6. De
igual forma, la fracción eE asume la forma a = EN ;
da -4 -2

6+4/5 11+24/30

=11+2-./30.
6-5 1

291. Cuando el denominador contiene varios términos podemos, del mismo modo,
hacer desaparecer los signos radicales de uno en uno. Propóngase la fracción

1 A E Aun a a
=== - Primero multiplicamos estos términos por .10+-..2+-.3 y obtenemos la

y10 — /2 —

10+/2+>
5-26

¡95

5 3 , q
fracción . Después, multiplicando el numerador y el denominador de esta

fracción por 3+ 2 6, tenemos 5 10+11.2+9.3+2.60.

903

CAPÍTULO IX
DE CUBOS Y DE LA EXTRACCIÓN DE RAÍCES CÚBICAS

292. Para encontrar el cubo de una raíz a+b, únicamente multiplicamos su
cuadrado, aa+2ab+bb, de nuevo por a+b así

aa + 2ab + bb

a+b

a* + 2aab + abb

aab + 2abb + b?

y el cubo será =a* +3aab + 3abb+b?.

Este cubo contiene los cubos de las dos partes de las raíces y, además, 3aab + 3abb
, Una cantidad igual a (3ab)x (a+b), esto es, el triple producto de las dos partes, a y b,
multiplicado por su suma.

293. Así que siempre que una raíz esté compuesta de dos términos, es fácil
encontrar su cubo por medio de esta regla. Por ejemplo, del número 5=3+2, su cubo es
27+8+18x5=125. Sea 7+3=10 la raíz. Entonces su cubo será
343 + 27+63x10=1000. Para encontrar el cubo de 36, supongamos la raíz 36=30+6 y
tendremos, por la potencia requerida, 27000 +216+540x 36 = 46636.

294. Si, por otra parte, el cubo ya está dado - como en a? + 3aab + 3abb + b? - y se
requiere encontrar su raíz, debemos sentar como premisa las siguientes observaciones:

Primero, cuando el cubo está acomodado de acuerdo con las potencias de una letra,
fácilmente conocemos, por el primer término a?*, el primer término a de la raíz, ya que su
cubo es a”; si, por lo tanto, sustraemos este cubo del cubo propuesto, obtenemos el resto
3aab + 3abb + b*, que deberá proporcionarnos el segundo término de la raíz.

295. Pero como ya sabemos que el segundo término es +b, mayormente tenemos
que descubrir cómo puede derivarse del resto de arriba. Ahora, ese resto puede expresarse
por dos factores como (3aa + 3ab + bb) x (b) ; si, por tanto, dividimos entre 3aa + 3ab+bb ,
obtendremos la segunda parte de la raíz, +b, que es lo requerido.

296. Pero como este segundo término está supuesto a ser desconocido, también el
divisor es desconocido. No obstante esto, tenemos el primer término de tal divisor, y con

ello es suficiente porque es 3aa, es decir, tres veces el cuadrado del primer término ya

96

encontrado. Por medio de esto, no es difícil encontrar la otra parte, b, y después completar
el divisor antes de llevar a cabo la división. Para este propósito será necesario unir a 3aa el
triple del producto de los dos términos, o 3ab, y bb, o el cuadrado del segundo término de
la raíz.

297. Apliquemos lo dicho a dos ejemplos de otros cubos dados.

a? +12aa + 48a + 64(a +4

3
a

I 3aa+12a +16) 2aa + 48a + 64
12aa + 48a + 64
0.

a? -64* +15a* -20a* +1540-6a+l(aa—-2a+1

6
a

3a* —-64* +4aa)-6a* +15a* -20a*
IL. -6a* +12a* -8a*
3a* -12a? +12aa + 3440-64 +1)3a* -12a?* +1500-6a +1
3a* -12a* +1540-6a+1
O.
298. El análisis recién ofrecido es el fundamento de la regla común para la
extracción de una raíz cúbica en números. Un ejemplo de la operación, en el número 2197:
2197(10+3=13
1000
300 1197
90
9
399 1197
O.
Extraigamos también la raíz cúbica de 34965783:

34965783(300 + 20 +7

27000000
270000 7965783
18000

97

400

288400 5768000
307200 2197783
6720

49

313969 2197783
0.

CAPÍTULO X
DE LAS POTENCIAS MÁS GRANDES DE CANTIDADES COMPUESTAS

299, Después de los cuadrados y de los cubos vienen las potencias grandes o las
potencias de un número mayor de grados. Estas potencias están representadas por

exponentes de la misma forma en que hemos venido explicando, y sólo debemos recordar

que, cuando la raíz es compuesta, debemos ponerla entre paréntesis. Así, (a +b)' significa

a+b elevado al quinto grado, y (a—b)* representa la sexta potencia de a—b. En este
capítulo explicaremos la naturaleza de estas potencias.

300. Sea a+b la raíz o la primera potencia; entonces encontraremos sus potencias
más grandes al multiplicar de la siguiente forma:

(a+bY =a+b

a+b

aa + ab
+ ab+bb

(a+b)? = aa +2ab + bb
a+b
a? + 2aab + abb

+ aab + 2abb + b?

98

(a+by =a* + 3aab + 3abb + b*
a+b
a* +3a*b + 3aabb + ab*

+ ab + 3aabb + 3ab + b*

(a+by' =a* + 4a*b+6aabb + 4ab? +b*
a+b
a? +4a*b+6a*bb + 4aab? + ab*

+ a*b+4a*bb + 6aab'* + 4ab* + b*

(a+by =a* +5a*b+10a*bb +10aab” + Sab* + b?
a+b

a +5ab+10a*bb +10a*b* +5a?b* + ab?
+ab+5a*bb+104*b* +10aab* + Sab? + b*

(a+b) =a* +6ab+15a*bb+204*b* +15aab* + 6ab? +b*, etc.

301. Las potencias de la raíz a—b se encuentran de la misma forma, e
inmediatamente percibimos que no difieren de las precedentes excepto en que los términos
segundo, cuarto, sexto, etc., están afectados por el signo de menos:

(a-by =a-b

a—=b

aa — ab

- ab + bb

(a—by? =aa-— 2ab + bb
a=b

a? —2aab + abb

— aab + 2abb —b*

99

(aby = a? —3aab + 3abb — b*
a—-b

a* —-3a*b + 3aabb — ab?

- ab + 3aabb — 3ab” +b*

(a—by' =a* -4a*b+ 6aabb-4ab* + b*
a-b

a? —4a*b + 6a*bb — 4aab” + ab*
—a*b+4a*bb —6aab? + 4ab* —b?

(a=by =a* —5Sa*b+10a*bb —10aab” + Sab* —b?
a—-b

a* —-5a*b+10a*bb -—10a*b* + Saab* — ab?
-ab+5a*bb-10a*b* + 10aab* — Sab? + b*

(a—by =a* —6a4*b+15a*bb-20a*b* +15aab* —6ab? + b*, etc.

En este caso vemos que las potencias nones de b tienen el signo -, mientras que las
pares tienen el signo +. La razón de esto es evidente, porque como —b es un término de la
raíz, las potencias de tal letra ascenderán en la siguiente serie: —b,+bb,-b* 4+b*,-b* 4b*,
etc., lo que claramente muestra que las potencias pares deben estar afectadas por el signo +
mientras que las nones por el signo contrario, -.

302. Aquí tiene lugar una cuestión importante, a saber, cómo podemos encontrar,
sin estar obligados a realizar siempre el mismo cálculo, todas las potencias ya sean de a+b
ode a—b.

Debemos observar, en primer lugar, que si podemos asignar todas las potencias de
a+b, también encontraremos las de a—b, ya que sólo debemos cambiar los signos de los
términos pares, esto es, del segundo [término], del cuarto, del sexto, etc. El meollo del
asunto consiste, pues, en establecer una regla por la cual cualquier potencia de a+b, sin
importar qué tan grande sea, pueda ser determinada sin recurrir al cálculo de todas las

[potencias] precedentes.

100

303. Ahora bien, si de las potencias que ya hemos determinado quitamos los
números que preceden a cada término, a los que llamamos coeficientes, notamos, en todos
los términos, un orden singular. Vemos, primero, el primer término a de la raíz elevado a la
potencia requerida. En los siguientes términos las potencias de a disminuyen
continuamente en una unidad a la vez que las potencias de b aumentan en la misma
proporción, así que la suma de los exponentes de a y de b es siempre la misma y es siempre
igual al exponente de la potencia requerida. Por último, encontramos el término b elevado
por sí mismo a la misma potencia. Si, por lo tanto, se requiriese la décima potencia de
a+b,es seguro que los términos, sin sus coeficientes, se sucederán entre sí en el siguiente
orden: a'”,a”b,a*b”,a'b*,a'b*,ab?,atb*,ab”,a?b*,ab?,b.

304. Queda, pues, por mostrar cómo hemos de determinar los coeficientes
pertenecientes a tales términos, o los números por los cuales han de ser multiplicados.
Ahora, con respecto al primer término, su coeficiente es siempre una unidad, y con
respecto al segundo, su coeficiente es de manera constante el exponente de la potencia.
Con respecto a los demás términos no resulta tan fácil observar algún orden en sus
coeficientes. Sin embargo, si continuamos con tales coeficientes no tardaremos mucho en
descubrir una ley por la cual podamos avanzar tanto como nos plazca. Esta ley la muestra la

siguiente tabla:

Potencias Coeficientes

L list

IL 1,2,1

TIL 11331

IV. 1,4,6,4,1

v. 1,5,10,10,5,1

VL 1,6,15,20,15,6,1

VIL 11421393921, 21
VII. 1,8,28,56,70,56,28,8,1
IX. 1,9,36,84,126,126,84,36,9,1
Xx. 1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1, etc.

101

Vemos, entonces, que la décima potencia de a+b será
a'” +10a*b+45a*bb +120a'b* + 210a*b* + 252a*b? +210a*b* +120a*b” + 45aab*
+10ab” +b'.

305. Con respecto a los coeficientes, debemos observar que para cada potencia su
suma debe ser igual al número 2 elevado a la misma potencia. Sean a=1 y b=1. Cada
término sin coeficientes será =1; consecuentemente, el valor de la potencia será
simplemente la suma de los coeficientes. Esta suma, en el ejemplo precedente, es 1024, así
que, de acuerdo con esto, (1+1)'” =2'"” =1024.

Es lo mismo con respecto a otras potencias, porque tenemos que

L 1+1=2=2'

IL. 1+2+1=4=2*

IL 1+3+3+1=8=2*

IV. 1+4+6+4+1=16=2*

V. 1+5+10+10+5+1=32=2*

VL 1+6+15+20+15+6+1=64=2*

VIL 1+7+21+35+35+21+7+1=128=2", etc.

306. Otra observación necesaria con respecto a los coeficientes es que aumentan
desde el comienzo hasta la mitad y después disminuyen en el mismo orden. En las
potencias pares, el mayor de los coeficientes se encuentra exactamente a la mitad, mientras
que en las nones a la mitad se encuentran dos coeficientes, iguales entre sí y mayores que
los otros, pertenecientes a los términos medios.

El orden de los coeficientes merece una atención especial, porque es en este orden
en el que descubrimos los medios para determinarlos para cualquier potencia sin tener que
calcular todas las [potencias] precedentes. Explicaremos en qué consiste este método
reservando la demostración para el siguiente capítulo.

307. Para encontrar los coeficientes de cualquier potencia propuesta (la séptima,

por ejemplo), escribamos las siguientes fracciones una después de otra:

7654321
172734567

102

En este arreglo percibimos que los numeradores comienzan por el exponente de la
potencia requerida y que disminuyen sucesivamente en una unidad, mientras que los
denominadores se siguen en el orden natural de los números, 1, 2, 3, 4, etc. Ahora, siendo
siempre 1 el primer coeficiente, la primera fracción nos da el segundo coeficiente. El
producto de las dos primeras fracciones multiplicadas juntas representa el tercer
coeficiente. El producto de las tres primeras fracciones representa el cuarto coeficiente, y

así sucesivamente.

; € 7
De esta forma, el primer coeficiente =1; el segundo ie el tercero

O el cuarto E el quinto A el sexto
1 2 28 123 4
os A =21; el séptimo a O E
(e ES EEE: E 6 bj
y ; . 2 1
308. Así es que tenemos, para la segunda potencia, las dos fracciones a de
, j Era 2 1
donde se sigue que el primer coeficiente =1; el segundo = A =2, y el tercero =2x ES =1l.
E j ; 32 . . >
La tercera potencia proporciona las fracciones 173 y de aquí que el primer coeficiente

=1; el segundo =2=3; el tercero =3x5=3, y el cuarto = Sl Para la cuarta

: ' 4321 . e
potencia tenemos las fracciones ECT consecuentemente el primer coeficiente =1; el
segundo o el tercero AS el cuarto Pa =4, y el quinto
1 1.2 1.2.3
4321
=x=x=x==1
12.3 4

309. Es evidente que esta regla hace innecesario que debamos encontrar los
coeficientes anteriores y nos permite descubrir, de manera inmediata, los coeficientes que
pertenecen a cualquier potencia. Así, para la décima potencia escribimos las fracciones

1098765432 1
1*2"3"4"5'6'"7'8'9'10

, por medio de las cuales encontramos que

el primer coeficiente =1,

103

el segundo = — =10,
9
el tercero =10x > =45,
8
el cuarto =45x a =120,
$ 7
el quinto =120x a 210,
6
el sexto =210x > =252,
dit 5
el séptimo = 232 x 6 =210,
4
el octavo =210x - =120,
3
el noveno A
e 2
el décimo O

y el décimo primero =10x - =1.

310. También podemos escribir estas fracciones tal como están, sin necesidad de
calcular su valor, y de esta manera es fácil expresar cualquier potencia de a+b sin
importar qué tan grande sea. Así, la centésima potencia de a+b será
= dE = > da: 100x99x 98 a 100x 99 x 98 x 97 ap.

*x

1x2x3 1x2x3x4
De aquí puede deducirse fácilmente la ley para los términos subsiguientes.

(aro =a + Hab

CAPÍTULO XI
DE LA TRANSPOSICIÓN DE LAS LETRAS, SOBRE LA CUAL ESTÁ FUNDADA LA
DEMOSTRACIÓN DE LA REGLA ANTERIOR

311. Si rastreamos el origen de los coeficientes que hemos venido considerando,

descubriremos que cada término se presenta tantas veces como sea posible transponer las

104

letras por las cuales tal término está compuesto; o, para expresar lo mismo de manera
distinta, el coeficiente de cada término es igual al número de transposiciones que admiten
las letras por las cuales tal término está compuesto. En la segunda potencia, por ejemplo, el
término ab es tomado dos veces, esto es, su coeficiente es 2. En efecto, podemos cambiar el
orden de las letras que componen tal término dos veces, porque podemos escribir ab y ba.
El término aa, por el contrario, se encuentra sólo una vez, porque el orden de las letras no
puede sufrir cambio o transposición alguna. En la tercera potencia de a+b, el término aab
puede escribirse de tres maneras distintas: aab, aba, baa, y de aquí que su coeficiente sea 3.
Del mismo modo, en la cuarta potencia el término a?b o aaab admite cuatro arreglos
distintos: aaab, aaba, abaa, baaa; por lo tanto, su coeficiente es 4. El término aabb admite
seis transposiciones: aabb, abba, baba, abab, bbaa, baab, y su coeficiente es 6. Es lo
mismo para todos los casos.

312. De hecho, si consideramos que la cuarta potencia, por ejemplo, de cualquier

raíz consistente en más de dos términos, como (a+b+c+dY, la encontramos al

multiplicar los cuatro factores I. a+b+c+d, 5. a+b+c+d, 5. a+b+c+d, y IV.
a+b+c+d, fácilmente podemos ver que cada letra del primer factor debe multiplicarse
por cada letra del segundo [factor], después por cada letra del tercero, y por último, por
cada letra del cuarto.

Cada término debe, por lo tanto, no sólo estar compuesto de cuatro letras, sino
también presentarse, o entrar en la suma, tantas veces como tales letras puedan ser
arregladas de manera distinta con respecto a cada otra [letra], de donde surge su coeficiente.

313. Es, por consiguiente, muy importante saber de cuántas maneras distintas puede
arreglarse un número dado de letras. En esta indagación debemos considerar
particularmente si las letras en cuestión son las mismas o si son distintas. Cuando son las
mismas, no puede haber transposición alguna, y es por esta razón que potencias simples
como a*,a*,a*, etc., tienen todas una unidad por coeficiente.

314. Supongamos, primero, que todas las letras son distintas, y comenzando con el
caso más simple de dos letras, o ab, inmediatamente descubrimos que pueden tener lugar
dos transposiciones, a saber, ab y ba.

Si consideramos tres letras, abc, observamos que cada una de las tres puede tomar el

primer lugar, mientras que las otras dos admitirán dos transposiciones. Esto porque si a es

105

la primera letra, tenemos dos arreglos, abc, acb; si b ocupa el primer lugar tenemos los
arreglos bac, bca, y, por último, si es c la que ocupa el primer lugar tenemos también dos
arreglos, a saber, cab, cba. Consecuentemente, el número total de arreglos es 3x2=6.

Si hay cuatro letras, abcd, cada una puede ocupar el primer lugar, y en cada caso las
otras tres letras pueden formar seis arreglos distintos, tal como hemos visto. El número total
de transposiciones es, por lo tanto, 4x6=24=4x3x2x1. Si hay cinco letras, abcde, cada
una de las cinco debe ser la primera, y las otras cuatro admitirán veinticuatro
transposiciones, de tal forma que el número total de transposiciones será
5x24=120=5x4x3x2x1.

315. De esta forma, sin importar qué tan grande pueda ser el número de letras, es
evidente que, siempre que sean todas distintas, podemos determinar fácilmente el número

de transposiciones. Para esto podemos recurrir a la siguiente tabla:

Número de letras Número de transposiciones

L l1=1

IL 22

TIL. 3x2x1=6

IV. 4x3x2x1=24

v. 5x4x3x2x1=120

VL 6x5x4x3x2x1=720

VIL 7x6x5x4x3x2x1=5040

VII. 8x7x6x5x4x3x2x1=40320
IX. 9x8x7x6x5x4x3x2x1= 362880
Xx. 10x9x8x7x6x5x4x3x2x1= 3628800 .

316. Pero, tal como hemos indicado, sólo podemos hacer uso de los números de esta
tabla cuando todas las letras sean distintas, porque si dos o más de ellas son iguales, el
número de transposiciones se vuelve mucho menor; y si todas las letras son iguales,
solamente tendremos un arreglo posible. Ahora veremos cómo han de disminuirse los
números en la tabla de acuerdo con el número de letras iguales.

317. Cuando están dadas dos letras, y éstas son iguales, los dos arreglos se reducen
a uno y, consecuentemente, el número que hemos encontrado arriba se reduce a la mitad,

esto es, debe dividirse entre 2. Si tenemos tres letras iguales, las seis transposiciones se

106

reducen a una, de donde se sigue que los números en la tabla deben dividirse entre
6=3x2x1l. Por la misma razón, si cuatro letras son iguales, debemos dividir los números
encontrados entre 24 o entre 4x3x2x1l, y así para los demás casos.

Es fácil, pues, determinar cuántas transposiciones pueden padecer las letras aaabbe,
por ejemplo. En número son 6, y es por esto que, si fuesen todas distintas, admitirían
6x5x4x3x2x1 transposiciones. Pero debido a que a está tres veces en tales letras,
debemos dividir ese número de transposiciones entre 3x2x1; y como b tiene lugar dos
veces, debemos dividir de nuevo tal número entre 2x1. De esta forma, el número de

transposiciones requerido será = a =5x4x3=60.
3x2x1x2x1

318. Ahora nos será más fácil determinar los coeficientes de todos los términos de

cualquier potencia. Para este propósito, ofreceremos un ejemplo de la séptima potencia
(a+by.

El primer término es a”, que tiene lugar sólo una vez, y como todos los otros
términos tienen cada uno siete letras, se sigue que el número de transposiciones para cada
uno de ellos sería 7x6x5x4x3x2xl1 si todas las letras fuesen distintas. Pero como en el
segundo término, a*b, encontramos seis letras iguales, debemos dividir el producto anterior
entre 6x5x4x3x2x1, de donde se sigue que el coeficiente es

_71x6x35x4x3x2x1 7
- 6x5x4x3x2x1 1'

En el tercer término, a*bb, encontramos la misma letra a cinco veces y la misma
letra b dos veces. Por lo tanto, debemos dividir tal número primero entre 5x4x3x2x1 y

7x6x5x4x3x2x1 7x6
5x4x3x2x1x2x1 1x2

después entre 2x1, de donde resulta el coeficiente [=21]. S

El cuarto término, a*b*, contiene la letra a cuatro veces y la letra b tres veces.
Consecuentemente, el número total de transposiciones de las siete letras ha de dividirse,
primero, entre 4x3x2x1l, y después entre 3x 2x1, y así el segundo coeficiente se vuelve

_ 7x6x5x4x3x2x1 7x6x5
4x3x2x1x3x2x1 1x2x3

[=35].

2 Los corchetes son míos. Nota del Traductor.

107

. Tx6x5x4 e : EOTZ
Del mismo modo, encontramos ERE para el coeficiente del quinto término,
XZLXIJX

y así sucesivamente para el resto, por lo cual se demuestra la regla antes establecida.

319. Estas consideraciones nos llevan más lejos y también nos muestran cómo
encontrar todas las potencias de las raíces compuestas por más de dos términos.
Aplicaremos estas consideraciones a la tercera potencia de a+b+c, cuyos términos deben
estar formados por todas las posibles combinaciones de estas tres letras, cada término
teniendo, como coeficiente, el número de sus transposiciones, al igual que arriba.

Sin realizar la multiplicación, la tercera potencia de (a+b+c)será

a* + 3aab + 3aac + 3abb + 6abc + 3acc +b* + 3bb + 3bcc+c?.

Supongamos que a=1, b=1, y c=1; entonces el cubo de 1+1+1, o de 3, será
14+34343+6+3+1+3+3+1=27. Este resultado es exacto y confirma la regla.

Si suponemos que a=1, b=1,y c=-1, encontraremos, para el cubo de 1+1-—1,0

de 1, 143-3+3-6+3+1-3+3-1=1.

CAPÍTULO XII
DE LAS EXPRESIONES DE POTENCIAS IRRACIONALES
POR SERIES INFINITAS

320. Ya habiendo mostrado el método para encontrar cualquier potencia de la raíz
a+b sin importar qué tan grande sea el exponente, podemos expresar, de manera general,
la potencia de a+b si su exponente no está determinado. Es evidente que si representamos
tal exponente como n, tendremos, por la regla ya ofrecida (art. 307 y siguientes),

n n-l

(roy a+ Laos n n-1 n-2 n n=1_n-2

E y SNE Xx UTPDA EA
1 2 3 1 2 3

n=3 ,
a e thb*+, etc.

321. Si se requiriese la misma potencia de la raíz a—b, sólo habremos de cambiar
los signos del segundo, cuarto, sexto, etc. términos y tendríamos

nl np? n n-1 n-2 33,2 _n-1 n-2

X Xx
2 1-2 3 1. 2 3

(a-b)' =a" a
1 1

108

n-3

24,4
x a" *b"—,etc.

322. Estas fórmulas resultan sumamente útiles, porque también sirven para expresar

todo tipo de radicales. Ya vimos que todas las cantidades irracionales pueden asumir la

forma de potencias cuyos exponentes sean fraccionales, y que %Zha=a*;a=a*, y

1 1 1
a =a*, etc. Por lo tanto, también tenemos que .(a+b) =(a+b)?;* (a+b) =(a+b)?, y

4

1
t (a+b)=(a+by?, etc.

De aquí que, si queremos encontrar la raíz cuadrada de a+b, sólo tenemos que
ES A! ] :
sustituir la fracción 2 por el exponente n en la fórmula general (art. 320) y primero

e, UL ASL: UASZ AE

A 6 4 8

tendremos, para los coeficientes,

dial ES = z , €tc., O bien podemos expresar tales potencias de a de la

5 10” 6 12

o n A a n-2 a a n-3 a ya n-4 a ¿a
siguiente forma: a =,1a;,a = —;a = <= 374 =3="3>4 PA a
a a a a a a a
Eto:
323. Una vez establecido esto, la raíz cuadrada de a+b puede expresarse de la
siguiente manera:

(a+b)= a+ Ip NA Lp a,l 1 31 a 1,1,3 5 4 va

Xx —X a x 7 > etc.
2. a 24 00.246 4.2468 vu

324. Si a es, pues, un número cuadrado, podemos asignar el valor de .a y,
consecuentemente, podemos expresar la raíz cuadrada de a+b a partir de una serie infinita

sin signo radical alguno.

SL por ejemplo, a=cc, tendremos que 0 Entonces

DD. ed A De
*x *x

+ , etc.
E A Y OS

(cc+b)=c+

Podemos ver, por lo tanto, que no hay ningún número cuya raíz cuadrada no pueda
ser extraída de la misma forma, ya que cada número puede resolverse en dos partes, una de

las cuales es un cuadrado representado por cc. Si requiriésemos, por ejemplo, la raíz

109

cuadrada de 6, hacemos que 6=4+2; consecuentemente, cc=4,c=2, y b=2, de donde

1 1 1 5
+ , etc.
2 16 64 1024

resulta que 6=2+

Si tomamos únicamente los dos términos principales de esta serie, tendremos
¡A 25 lo : ts
A cuyo cuadrado, eS, es mayor que 6 por 7% Si consideramos tres términos

7 39 1521. ; S 15
tendremos 2-—— =-—, cuyo cuadrado, ———, sigue siendo muy pequeño por —-—.
16 16 256 256

325. Como en este ejemplo : se aproxima mucho al verdadero valor de 6, para 6

tomaremos la cantidad equivalente ed Así, cc= a c= En y b= E y calculando
4 4 4 2 4
sólo los dos términos principales encontramos que
mE El
6= s + s x A = ee E E = sa . Siendo S el cuadrado de esta fracción,
DEDO XS , 20100 20)
Z 2
excede al cuadrado de 6 únicamente por 20 j
Ahora, haciendo que Ec de tal forma que pe y AA y
400 400 20 400
volviendo a tomar solamente los dos términos principales, tenemos que
e dE
6= 49 z 1 400 49 1 400 49 1 _ 4801 E 23049601
20.2. 49 20 2 49 20 1960 1960 3841600
20 20
Ahora bien, 6 reducido al mismo denominador es = o y por tanto el error es sólo
3841600
EA
3841600 '

326. Del mismo modo, podemos expresar la raíz cúbica de a+b por una serie

1
infinita. Esto debido a que, como ? (a+b) =(a+b)?, en la fórmula general tendremos que

l Ad n_1n-1_. 1n-2_ 5n-3_ 2n-4_ 11
n=-_, y para los coeficientes, —=-; =-2: =-*; AS _
3 ¡UN A 3 3 94 3.5 15

, etc.

po a

el
ad. n2

Con respecto a las potencias de a tendremos a” =* asa” = AS O
a a a
—z_ ia 1 %a 1 ,,%a S ¿%da 10 NS
etc. Entonces 3 (a+b)=*a+_xb xbb + =xb*= xb* —, etcétera.
3 a 9 aa 8l a” 243 a

327. Así pues, si a es un cubo, o a=c”, tenemos que * a =c y los signos radicales

desaparecerán orque aora 1 o, 5 1 10 0
p > p q 3 CC 9 Pe 81 Pd 243 o

, y así

sucesivamente.

328. Es así que hemos llegado a una fórmula que nos permitirá encontrar, por
aproximación, como suele llamársele, la raíz cúbica de cualquier número, ya que todo
número puede ser resuelto en dos partes, como c* + b, cuya primera de ellas es un cubo.

Si queremos, por ejemplo, determinar la raíz cúbica de 2, representamos 2 por 1+1,

así que, siendo c=1 y b=1, consecuentemente 212 =1+ , —- : + = etc. Los dos términos
Le z 1 4 64 . 10
principales de esta serie dan 1=-—, cuyo cubo, ——, es demasiado grande por ——.
3 3 27 27
Hagamos, pues, que 2= sas - na entonces tenemos que c= a b= Be ;
a O a 23]? A ae 27”
_10
consecuentemente, * 2= E + a x 21 . Estos dos términos dan Sl — EN = ELO , cuyo cubo es
3.3 16 Ey 72-72

9

753571 Ahora, 7 746496
373248

seguir aproximándonos al valor requerido, y más rápido, en proporción, a medida que

así que el error es . De esta manera podríamos

373248” 373248

consideremos un mayor número de términos.

111

CAPÍTULO XIII
DE LA RESOLUCIÓN DE POTENCIAS NEGATIVAS

1 5 pat
329. Ya hemos mostrado que podemos expresar — como a”. Por consiguiente,
a

también podemos expresar , como (a+b)”', de tal manera que la fracción

a+

puede considerarse como una potencia de a+b, a saber, la potencia cuyo exponente es —1.
De esto se sigue que la serie ya encontrada como el valor de (a +b)" se extiende también

para este caso.

330. Ya que es lo mismo que (a+b)”, supongamos, en la fórmula general,
a+

que n=-1. Primero tendremos, para los coeficientes, que
n n—-1 n-2 n-3 ;

=-—1l; =-—1; =-—1l; =-1, etc. Entonces, para las potencias de a,
1 2 3 4

E UE O A A | E
ar=4 ==a 7 =4 => ar = a t=, etc., así que

a a a a

(a+b)'= = + + , €tc., y ésta es la misma serie que
3 4 5 6
a+tb a da a4aqa4.aAa a

encontramos antes por división.

331. Además, siendo l
a

py lo mismo que (a+b)”, reduzcamos también esta
+

cantidad a una serie infinita. Para este propósito debemos suponer que n=-2, y entonces

EE n 2 n-1 3 n-2 4 n-3 5
para los coeficientes tendremos que —= : == : = : = , etc., y
1 1 2 2. 3 3-4 4
: n 1 n-1 1 n-2 1 -3 1
para las potencias de a tenemos que a" =->;a" =-3;a4” *=- a" =-2, etc. Por lo
a a a a
tanto, obtenemos
a 1 E AA O E E E AA
(a+by? + : etc.

x—= +
(arby AECA a 123347

112

¿ 2
Ahora bien, q. =5, etc. Consecuentemente,

1 b bb ,b b* bp? pÉ
27 3 4 5 6—+ 1, etcétera
(a+byY ad a a a a a a

tenemos que

332. Procedamos y supongamos que n=-3. Tendremos, pues, una serie

expresando el valor de e de (a+b)?. Los coeficientes serán
(a +b)
n 3 n-1 4 n-2 5 n-3 6 j
== 244 = : ===; = , €tc., y las potencias de a se vuelven
1 Lo TZ 2. 3 3.4 4
a” = Lig - Lg? = ES etc., lo que da
a a a
1 l.3.b:3.4 bb 3 bo 34:56 b*
3=53 AER E E etc.,
(a+by a 1a 12ao123urs123._4a

3 4 5 6 7 8
l ze de 102 PE 1 912 +28 sd 36 dl +45 En , etcétera.
a a a a a a a a a

Ahora hagamos que .n=-4 y tendremos, para los coeficientes,

n 4 n-1 5n-2 6 n-3 7 ;
=--=; =-=; ===; ===, €tc., y para las potencias de a,
1 12 2 3.4 4

a”=—_;a"”"=>;a e a a etc.; de donde obtenemos
a a a a a
1 DA e e O e 0 A dla
1=3 AR E E etc.,
(a+bY a 1 aa 12a123u” 123 4mVU
3 4 5
= > 4 a de 202, Lee 562, , etcétera.
a a a a a a

333. Los distintos casos que hemos venido considerando nos permiten concluir, con

certeza, que para cualquier potencia negativa de aw+b tendremos

1 lom b m m+l bb m m+1 m+2 b?
Xx Xx Xx Xx Xx

e x , etcétera.
(a by" a” 1 qua 1 2 gra 1 2 2 qa

Por medio de esta fórmula podemos transformar todo tipo de estas fracciones en
series infinitas, y también sustituir, por m, las fracciones o los exponentes fraccionales para

así expresar cantidades irracionales.

113

334. Las siguientes consideraciones ilustrarán esta cuestión aún más. Hemos visto

1 lL b bb by bp
Ay 3 4 5 a?”

= etc. Si, por tanto, multiplicamos esta serie por
a+b a a a AU a

que

a+b, el producto debe ser =1, y descubrimos que esto es verdad si realizamos la

multiplicación:
lb bb bb bp
A O
a aq aa iÍ a 4
a+b
Do bbe -:b? ¿¿be Sp?
1 + > 5» etc.
a qa aa 4
b bb bb bp
+ e EL
a qa aaa JG<
1.
3 4 3
335. También hemos encontrado que . EA , ze 2 a po sd ]
(a+byY ag a a a a a

etc. Si, por tanto, multiplicamos esta serie por (a+b)?, el producto también debe ser =1.
Ahora bien, (a+b) = aa +2ab + bb. Veamos, pues, la operación:

l 2b 3bb 4b* 5b* 6b”

3 4 5 6 7 +, eto.
ad a a a a a
aa +2ab + bb
2b 3bb 4b? 5b* 6b?
1 + a z elo:
a ad a a a
2b 4bb 6b? 8b* 10Db*
+ + a 7 a , etc.
a ad a a a
bb 2b? 3b* 4p?
a a a dE +, etc.

1= al producto que la naturaleza de esta cuestión requería.

114

336. Si multiplicamos la serie que encontramos como valor de ao
a+

por a+b[y no por (a+by ?, el producto debe responder a la fracción

b bb bp
+

únicamente

O ser igual a
a+

p?

: 1
la serie ya encontrada, a saber, a ESG
a da, «a Y

multiplicación real:

¿ » etc., tal como lo confirma la
a

1 2b 3bb 4b? 5b* 6b' 2
aa a? a* a? a a , .
a+b
1 2b 3bb 4b? 5b* 6b'
+ 3) 4 5 6 + , etc.
a ad a a a a
b 2bb 3b? 4b*
E 3 a +, etc,
ad a a a
lb bo bp )
E + , etc., justo como se requería.

a ad a a? a?

3 Los corchetes son míos. Nota del Traductor.

115

SECCIÓN HI
DE RAZONES Y PROPORCIONES

CAPÍTULO I
DE LA RAZÓN ARITMÉTICA O DE LA DIFERENCIA
ENTRE DOS NÚMEROS

337. Dos cantidades son, o bien iguales entre sí, o no lo son. En el último caso,
cuando una es mayor que la otra, podemos considerar su desigualdad desde dos puntos de
vista: podemos preguntar ¿por cuánto una de las cantidades es mayor que la otra?, o bien
¿cuántas veces es mayor una que la otra? A los resultados que constituyen las respuestas a
ambas preguntas se les llama relaciones o razones. Normalmente llamamos a la primera
razón aritmética y a la segunda razón geométrica, sin que, a pesar de esto, estas
denominaciones tengan conexión alguna con la cosa en sí; han sido, pues, adoptadas de
manera arbitraria.

338. Es evidente que las cantidades que estamos considerando deben ser de uno y
del mismo tipo, ya que de otra forma no podríamos determinar nada con respecto a su
igualdad o desigualdad. Sería absurdo, por ejemplo, preguntarse si dos libras y tres kilos
son cantidades iguales. Es por esto que en lo que sigue únicamente consideraremos
cantidades del mismo tipo, y como éstas siempre pueden expresarse por números, es sólo
con números, como ya dijimos al principio, con lo que trataremos.

339. Por tanto, cuando de dos números dados se requiere encontrar por cuánto es
uno mayor que el otro, la respuesta a esta pregunta determina la razón aritmética de los dos
números. Ahora bien, como esta respuesta consiste en establecer la diferencia de los dos
números, se sigue que una razón aritmética no es otra cosa que la diferencia entre dos
números. Debido a que esto parece ser una mejor expresión de lo que sucede, reservaremos
las palabras razón y relación para las proporciones geométricas.

340. Encontramos la diferencia entre dos números, como sabemos, al sustraer el
menor del mayor. Nada puede ser, pues, más fácil que resolver la cuestión: por cuánto es un
número mayor que otro. Es así que, cuando los números son iguales, y siendo nada la

diferencia, si se preguntase por cuánto es uno de los números mayor que el otro,

116

responderíamos que por nada. Por ejemplo, 6 siendo =2x3, la diferencia entre 6 y 2x3 es
O.

341. Pero cuando los dos números no son iguales, como 5 y 3, y se requiere
encontrar por cuánto es 3 mayor que 3, la respuesta es 2, y se obtiene al sustraer 3 de 5. Del
mismo modo, 15 es mayor que 5 por 10 y 20 excede a 8 por 12.

342. Tenemos, entonces, que considerar tres cosas en esta cuestión: primero, al
mayor de los números; segundo, al menor, y tercero, su diferencia. Estas tres cantidades
están conectadas de tal manera que, estando dadas dos de ellas, siempre podemos
determinar la tercera.

Sea el número mayor =a, el menor =b, y la diferencia =d . Encontraremos la
diferencia d al sustraer b de a, así que d =a—b, de donde vemos cómo encontrar d cuando
a y b están dados.

343. Pero si están dadas la diferencia d y el menor de los dos números, o b,
podemos determinar al número mayor al añadir juntas la diferencia y el número menor, lo
que da a=b+d. Esto porque, si de b+d quitamos al número menor b, nos queda d, que
es la diferencia conocida. Sean el número menor =12 y la diferencia =8; entonces el
número mayor será = 20.

344, Por último, si además de la diferencia d, también está dado el número mayor a,
encontramos al otro número b al sustraer la diferencia del número mayor, lo que nos da
b=a-=d . Esto porque, si quitamos el número a—d del número mayor a, nos queda d, que
es la diferencia dada.

345. Por lo tanto, la conexión entre los números a, b, d es de una naturaleza tal que
ofrece los siguientes tres resultados: primero, d =a—b; segundo, a=b+d, y tercero,
b=a-—d. Si una de estas tres comparaciones es justa, las otras deben serlo por necesidad.
Por lo cual, en general, si z=x+ y, necesariamente se sigue que Y=Z-X Y xX=Z-—Y.

346. Con respecto a estas razones aritméticas debemos observar que, si a los dos
números a y b añadimos un tercer número c asumido a placer, o lo sustraemos de aquellos,
la diferencia seguirá siendo la misma. En otras palabras, si d es la diferencia entre a y b, tal
número d también será la diferencia entre a+c y b+c y entre a—c y b—=c. Por ejemplo,

siendo 8 la diferencia entre los números 20 y 12, tal diferencia seguirá siendo la misma sin

117

importar qué número añadamos a 20 y 12, y sin importar qué números sustraigamos de
ellos.

347. La prueba de esto es evidente, porque si a—b=d , también tendremos que
(a+c)-(b+c)=d, y que (a—c)-(b=c)=d .

348. Si duplicamos los dos números a y b, la diferencia también se duplicará. Así,
cuando a—b=d , tendremos que 2a-2b=2d y, por lo general, na—nb =nd, sea cual

sea el valor que demos a n.

CAPÍTULO II
DE LA PROPORCIÓN ARITMÉTICA

349, Cuando dos razones, o relaciones, aritméticas son iguales, llamamos a esta
igualdad proporción aritmética. Así, cuando a—b=d y p-=q=d., de tal forma que la
diferencia entre los números p y q es la misma que entre los números a y b, decimos que
estos cuatro números forman una proporción aritmética que escribimos de la manera
a=b=p-=q, expresando claramente con esto que la diferencia entre a y b es igual a la
diferencia entre p y q.

350. Una proporción aritmética consiste, pues, en cuatro términos que deben ser
tales que, si sustraemos el segundo del primero, el resto es el mismo que cuando sustraemos
el cuarto del tercero. De este modo, los cuatro números 12, 7, 9, 4 forman una proporción
aritmética porque 12-7=9-4.,

351. Si tenemos una proporción aritmética, como a—b= p—q, podemos hacer que
el segundo y el tercer [término] cambien de lugar, escribiendo a—p=b-q, y esta
igualdad no será menos cierta porque, dado que a—b=p-—q, si añadimos b a ambos
lados tenemos a=b+ p—q, y sustrayendo p de ambos lados tenemos a— p=b-—q. Del
mismo modo, así como 12-—7=9-—4, también 12-9=7-4,

352. En toda proporción aritmética también podemos poner al segundo término en
lugar del primero si hacemos la misma transposición con el tercero y el cuarto términos.

En otras palabras, si a—b= p-—q, también tenemos que b—a=q- p. Esto debido a que

118

b=a es la negativa de a-b y q-p también es la negativa de p-—q. Así, como
12-7=9-4, también 7-12=4-09,

353. Sin embargo, la gran propiedad de toda proporción aritmética es que la suma
del segundo y del tercer término siempre es igual a la suma del primero y del cuarto. Esta
propiedad, que debemos considerar de manera particular, también la expresamos diciendo
que la suma de los [términos] medios es igual a la suma de los [términos] extremos. De este
modo, ya que 12-7=9-4, tenemos que 74+9=12+4, siendo 16 la suma en ambos
casos.

354. Para demostrar esta importante propiedad, sea a—b= p—q. Si a ambos lados
[de la igualdad] añadimos b+q, tenemos a+q=b+ p, esto es, la suma del primero y del
cuarto términos es igual a la suma del segundo y del tercero. A la inversa, si cuatro
números a, b, p, q son tales que la suma del segundo y el tercero es igual a la suma del
primero y el cuarto, es decir, si b+ p =a+q, concluimos, sin posibilidad de error alguno,
que estos números están en una proporción aritmética, y que, por lo tanto, a—b=p-—q.
Esto porque, como a+q=b+ p, si de ambos lados [de la igualdad] sustraemos b+q
obtenemos a—b=p-q.

De esta manera, los números 18, 13, 15, 10 siendo tales que la suma de los medios
(13+15=28) es igual a la suma de los extremos (18+10= 28), lo cierto es que también
forman una proporción aritmética y que, consecuentemente, 18-13=15-10.

3553. Por medio de esta propiedad es fácil resolver la siguiente cuestión: estando
dados los tres primeros términos de una proporción aritmética, encontrar el cuarto. Sean a,
b, p los tres primeros términos y expresemos el cuarto por q, que es el que se requiere
determinar. Entonces, si a+q=b+p, sustrayendo a de ambos lados obtenemos
q =b+ p-a. Es así que al cuarto término lo encontramos añadiendo juntos el segundo y
el tercer término y sustrayendo al primero de tal suma. Supongamos, por ejemplo, que 19,
28, 13 son los tres primeros términos dados. La suma del segundo y el tercero es =41;
quitemos de ella al primer término, que es 19, y nos queda 22 por el cuarto término
buscado, de tal suerte que la proporción aritmética estará representada por 19 — 28 =13-— 22

, 0 por 28-—19=22-13, o, por último, por 28-22 =19-—13.

119

356. Si en una proporción aritmética el segundo término es igual al tercero,
entonces sólo tenemos tres números. La propiedad de esto es que el primer término menos
el segundo es igual al segundo menos el tercero, o que la diferencia entre el primer y el
segundo número es igual a la diferencia entre el segundo y el tercero. Los tres números 19,
15, 11 son de este tipo, porque 19-15=15-11.

357. De tres números así se dice que forman una proporción aritmética continua,
que suele escribirse como 19:15:11. A tales proporciones también se les llama
progresiones aritméticas, particularmente cuando un mayor número de términos se siguen
uno al otro de acuerdo con la misma ley.

Una progresión aritmética puede ser creciente O decreciente. La primera distinción
se aplica cuando los términos van aumentando, esto es, cuando el segundo excede al
primero y el tercero excede al segundo por la misma cantidad, como en los números 4, 7,
10. La progresión decreciente es aquella en donde los términos continúan disminuyendo
por la misma cantidad, como en los números 9, 5, 1.

358. Supongamos que los números a, b, c están en una progresión aritmética.
Entonces a—b=b-—c, de donde se sigue que, a partir de la igualdad entre la suma de los
extremos y la de los medios, 2b=aw+c, y si sustraemos a de ambos [lados de la igualdad],
tenemos que c=2b-—a.

359. Es así que cuando están dados los dos primeros términos a, b de una
progresión aritmética, encontramos al tercero quitando el primero del doble del segundo.
Sean 1 y 3 los dos primeros términos de una progresión aritmética. Entonces el tercero será
=2x3-1=5. Y estos tres números 1, 3, 5 dan como proporción 1-3=3-—S5.

360. Siguiendo el mismo método podemos continuar con la progresión aritmética
tanto como nos plazca; sólo tenemos que encontrar el cuarto término por medio del
segundo y del tercero de la misma manera que determinamos el tercero por medio del
primero y del segundo, y así sucesivamente. Sea a el primer término y b el segundo.
Entonces el tercero será =2b-=a, el cuarto =4b-=2a-b=3b-2a, el quinto
=6b-=4a-2b+a=4b-3a, el sexto =8b=—6a-3b+2a=5b-=4a, el séptimo
=10b-—8a-—4b+3a =6b-—5a, etcétera.

120

CAPÍTULO IN
DE LAS PROGRESIONES ARITMÉTICAS

361. Ya hemos comentado que a una serie de números compuesta de cualquier
número de términos que siempre aumentan o disminuyen por la misma cantidad se le llama
progresión aritmética. Así, los números naturales escritos en su orden (1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8,
9, 10, etc.) forman una progresión aritmética porque aumentan de manera constante en una
unidad; y la serie 25, 22, 19, 16, 13, 10, 7, 4, 1, etc., también es una progresión porque los
números decrecen de manera constante en 3.

362. Al número, o cantidad, por el cual los términos de una progresión aritmética se
vuelven mayores O menores se le llama diferencia. De modo que cuando están dados el
primer término y la diferencia, podemos continuar con la progresión aritmética tanto como
queramos. Por ejemplo, sea el primer término =2 y la diferencia =3. Entonces tendremos
la siguiente progresión creciente: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, etc., en donde
encontramos cada término al añadir la diferencia al término precedente.

363. Es común escribir los números naturales, 1, 2, 3, 4, 5, etc., encima de los
términos de una progresión aritmética para que inmediatamente percibamos el rango que
tiene cada término en la progresión. A estos números escritos arriba de los términos
podemos llamarles índices, y el ejemplo anterior se escribe como sigue:

Índices DY 3 de MI O
Progr. Aritm. 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, etc.
Vemos, pues, que 29 es el décimo término.

364. Sea a el primer término y d la diferencia. Entonces la progresión aritmética

ocurrirá en el siguiente orden:

1 2 3 4 5 6 de

a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, a+5d, a+6d, etc.

De aquí parece que cualquier término de la progresión puede ser fácilmente encontrado, sin
necesidad de encontrar todos los [términos] precedentes, únicamente por medio del primer
término a y de la diferencia d. Por ejemplo, el décimo término será =a+9d , el centésimo

=4+99d y, por lo general, el término n será =a+(n—1)d .

121

365. Cuando nos detenemos en cualquier punto de la progresión, es importante
prestar atención al primer y al último términos, ya que el índice del último representará el
número de términos. Si, por lo tanto, el primer término =a, la diferencia = d , y el número
de términos =n, tendremos que el último término =a+(n—1)d, que consecuentemente
encontramos al multiplicar la diferencia por el número de términos menos uno, y
añadiendo el primer término a tal producto. Supongamos, por ejemplo, que en una
progresión aritmética de cien términos, el primer término =4 y la diferencia =3; entonces
el último término será =99x3+4+4=301.

366. Si conocemos al primer término a y al último z, junto con el número de
términos n, podemos encontrar la diferencia d. Esto porque, como el último término
z=a+(n-ld, si sustraemos a de ambos lados [de la igualdad], obtenemos
z-a=(n-=1)d . Así que, sustrayendo el primer término del último, tenemos el producto de
la diferencia multiplicada por el número de términos menos 1. Por lo tanto, sólo debemos

Za

dividir za entre n—1 para obtener el valor de la diferencia d requerido, que es = y
00

Este resultado nos proporciona la siguiente regla: sustráigase el primer término del último,
divídase la resta entre el número de términos menos l, y el cociente será la diferencia, por
medio de la cual podemos escribir toda la progresión.

367. Supongamos, por ejemplo, que tenemos una progresión aritmética de nueve
términos, cuyo primero =2 y último =26, y que se requiere encontrar la diferencia.
Debemos sustraer el primer término, 2, del último, 26, y dividir la resta, que es 24, entre
9-1, esto es, entre 8. El cociente, 3, será igual a la diferencia requerida, y toda la
progresión será:

123 4-5 6 7 8 9
2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26.

A modo de otro ejemplo, supongamos que el primer término =1, el último =2, el

número de términos =10, y que se requiere la progresión aritmética que responda a estas

vd a lesa Ñ 2-1 1
suposiciones. Para la diferencia, inmediatamente tendremos domi = 9” y de aquí

concluimos que la progresión es:

Ll 2 3 4 5 6 7 8 9 10

122

Otro ejemplo. Sea el primer término =25, el último =12>, y el número de

ptes! 10 61 5
términos =7. La diferencia es 2-3 6%] , y consecuentemente la
7-1 6 36 36
progresión es:
1 2 3 4 5 6 7
pe a os q s. 102. 121.
3 36 18 12 9 36 2

268. Si ahora es el primer término a, el último término z, y la diferencia d lo que

está dado, podemos encontrar, a partir de esto, al número de términos n. Esto porque, como

e E

z-a=(n-1l)d, al dividir ambos lados [de la igualdad] entre d tenemos Es

Z2=4
Ahora, como n es mayor que n—1 por 1, tenemos que n= ds Consecuentemente,

encontramos al número de términos dividiendo la diferencia entre el primer y el último
términos, o z—a, entre la diferencia de la progresión y añadiendo una unidad al cociente

2=0
d

Por ejemplo, sea el primer término =4, el último =100, y la diferencia =12.

a pd 10
Entonces el número de términos será

+1=09, y estos nueve términos serán:

dr. «2 ao Ho 6 7 8 9
4, 16, 28, 40, 52, 64, 76, 88, 100.

Si el primer término =2, el último =6, y la diferencia es =1=, el número de

aos zo A py ;
términos será A +1=4, y estos cuatro términos serán:

123

De nuevo, si el primer término =3>, el último 9 y la diferencia 9%. el

2 1
12-3-—
3 +1=4, que son a
Md 30.09 3

9

número de términos será =

369. De todos modos, debemos observar que, debido a que el número de términos es
necesariamente un entero, si no hubiésemos obtenido un número de este tipo para n en los
ejemplos del artículo anterior, las cuestiones habrían sido absurdas. Siempre que no

A 28 o . 2
obtengamos un número entero para el valor de Fá será imposible resolver esta cuestión,

y, consecuentemente, para que las cuestiones de este tipo sean posibles, z—a debe ser
divisible entre d.

370. De lo que hemos venido diciendo podemos concluir que siempre tenemos
cuatro cantidades, o cosas, a considerar en una progresión aritmética:

I. El primer término a.

II. El último término 2.

III. La diferencia d.

IV. El número de términos n.
Las relaciones entre estas cantidades entre sí son tales que, si conocemos tres de ellas,
podremos determinar la cuarta, ya que

IL Si a, d, y n son conocidas, tenemos z=a+(n—-Dd .

IL. Si z, d, y n son conocidas, tenemos a=z—(n—UDd.

á y z-a
TIL. Si a, z, y n son conocidas, tenemos d =

n—1

A ¿ za
IV. Si a, z, y d Son conocidas, tenemos n= E +1.

124

CAPÍTULO IV
DE LA SUMA DE PROGRESIONES ARITMÉTICAS

371. A menudo es necesario encontrar la suma de una progresión aritmética, y esto
puede hacerse al añadir todos los términos juntos. Pero como la adición podría resultar muy
tediosa si la progresión consiste en un gran número de términos, se ha ideado una regla por
la cual puede obtenerse la suma más fácilmente.

372. Primero consideraremos una progresión particular tal que el primer término

=2, la diferencia =3, el último término =29, y el número de términos =10:
1.2.3.4 5.6 7 8 9. 10
Ze e 8 1 114, ET: 20, 23, 26, 29.
En esta progresión vemos que la suma del primer y del último término =31; la suma del
segundo y del penúltimo =31; la suma del tercero y del antepenúltimo =31, y así
sucesivamente. De aquí concluimos que la suma de cualesquiera dos términos igualmente
distantes, el uno del primer término y el otro del último, es siempre igual a la suma del
primer y del último términos.

373. La razón de esto puede ser fácilmente rastreada. Si suponemos que el primer
término =a, el último =z, y la diferencia =d , la suma del primer y del último término
=4+2; siendo el segundo término =a+d y el penúltimo =Z—d , la suma de estos dos
términos es también =a+z. Más lejos, siendo el tercer término =a+2d y el
antepenúltimo =Zz-—2d , es evidente que también estos dos términos añadidos juntos dan
a+. La demostración puede ser fácilmente extendida al resto de los términos.

374. Para determinar, entonces, la suma de la progresión propuesta, escribamos la
misma progresión invertida término por término y añadamos juntos los correspondientes
términos, como sigue:

2+5+8+11+14+17+20+23+26+29
29+26+23+20+17+14+11+8+5+2
31+31+31+31+31+31+31+31+31+31

Esta serie de términos iguales es evidentemente igual al doble de la suma de la progresión

dada. Ahora, el número de estos términos iguales es 10, como en la progresión dada o

125

propuesta, y su suma, consecuentemente, =10x31=310. Así que, como esta suma es el
doble de la suma de la progresión aritmética [propuesta], la suma requerida debe ser =155.

375. Si procedemos de la misma forma con respecto a cualquier progresión
aritmética cuyo primer término sea =a, el último =Zz, y el número de términos =n, y
escribiendo, bajo la progresión dada, la misma progresión invertida, y añadiendo término
con término, tendremos una serie de n términos cada uno de los cuales será =a+z. La

suma de esta serie consecuentemente será =n(a+2), y será el doble de la suma de la

pelas ed , n(a+z)
progresión aritmética propuesta, que por lo tanto será = 2,

376. Este resultado nos proporciona un método sencillo para encontrar la suma de
cualquier progresión aritmética, y puede reducirse a la siguiente regla: multiplíquese la
suma del primer y del último término por el número de términos, y la mitad de tal producto
será la suma de toda la progresión. O, lo que viene a ser lo mismo, multiplíquese la suma
del primer y del último término por la mitad del número de términos. O, multiplíquese la
mitad de la suma del primer y del último término por todo el número de términos. Ambos
de estos enunciados de la regla darán la suma de la progresión.

377. Puede resultar adecuado ilustrar esta regla con algunos ejemplos. Primero,
requiérase encontrar la suma de la progresión de los números naturales, 1, 2, 3, etc., hasta

100. Esta suma será, por la primera regla, = ES =50x101=5050.

Si se requiriese decir cuántas campanadas da un reloj en doce horas, debemos añadir
los números 1, 2, 3, hasta 12. Ahora encontramos de manera inmediata que esta suma

_12x13

=6x13=78. Si quisiésemos conocer la suma de la misma progresión continuada

hasta 1000, descubriríamos que es 500500, y continuada hasta 10000 será 50005000.

378. Otra cuestión del mismo tipo. Una persona compra una caballería* bajo la
condición de que, para la primera pezuña del primer caballo, pague 5 medios peniques, para
la segunda, 8, para la tercera, 11, y así sucesivamente, siempre aumentando 3 medios
peniques para cada pezuña nueva de cada caballo. Habiendo 32 pezuñas en total, se

requiere saber cuánto pagará el comprador.

* Asumiremos, pues, que la caballería comprada consta de 8 caballos. Nota del Traductor.

126

En esta cuestión, requerimos encontrar la suma de una progresión aritmética cuyo
primer término es 5, la diferencia es 3, y el número de términos es 32. Debemos, por tanto,
comenzar por determinar el último término, que es (por la regla en los artículos 365 y 370)
=5+31x3=98. Después de esto encontramos fácilmente que la suma requerida es

= Ei =103x16, de donde concluimos que la caballería cuesta 1648 medios peniques.

379. Por lo general, sea el primer término =a, la diferencia =d , y el número de
términos =n, y requiérase encontrar, por medio de estos datos, la suma de toda la
progresión. Como el último término debe ser =a+(n—1)d, la suma del primer y del

último término será =2a+(n-—1)d . Multiplicando esta suma por el número de términos n,

, , n(n—Dd
tenemos 2na + n(n—1)d , y la suma requerida será, entonces, =na + aur=Da x

Si aplicamos esta fórmula al ejemplo anterior, oa a=5, d=3,y n=32, tenemos

32x31x3
+ —_—_——__——
2

5x32 =160+1488 =1648, la misma suma que obtuvimos antes.

380. Si requiriésemos añadir juntos todos los números naturales desde 1 hasta n,
para encontrar esta suma tendríamos que el primer término es =1, el último término es =n
, y el número de términos es =n, de donde se sigue que la suma requerida es

_ m+n _n(n+l)
2 pa

1766 será =883x1767 =1560261.

. S1 hacemos que n=1766, la suma de todos los números desde 1 hasta

381. Propongamos la progresión de números impares 1, 3, 5, 7, etc., continuada
hasta n términos y requiramos su suma. Aquí, el primer término es =1, la diferencia =2, y

el número de términos =n. El último término será, por lo tanto, =1+(n-1)2=2n-—1;

consecuentemente, la suma requerida es =nn.

Todo consiste, pues, en multiplicar el número de términos por sí mismo, de tal
forma que sin importar el número de términos de esta progresión que añadamos juntos, la
suma siempre será un cuadrado, a saber, el cuadrado del número de términos. Esto lo
podemos ejemplificar como sigue:

Índices 1 2. 3 4 5 6 7 8 9 1l0etc
Progresión 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19,etc.

127

Suma 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, etc.

382. Sea el primer término =1, la diferencia =3, y el número de términos =n.
Entonces tendremos la progresión 1, 4, 7, 10, etc., cuyo último término será
1+(n-1)33=3n-2, de donde se sigue que la suma del primer y del último término es

n(3n—1) 3nn—n
2 2

. SI

=3n-1 y, consecuentemente, la suma de esta progresión es =

suponemos que n=20, la suma será =10x59=590.

383. De nuevo, sea el primer término =1, la diferencia =d , y el número de
términos =n. Entonces el último término será =1+(n-—1)d. Añadiendo el primer
[término], tenemos 2+(n-—1)d , y multiplicando esto por el número de términos tenemos

¿ do n(n—1)d
2n +n(n—1)d , de donde deducimos que la suma de la progresión es =n+ an :

En este tenor, obtenemos la siguiente tabla si d es sucesivamente igual a 1, 2, 3, 4,
etcétera.

n(n-1) nn+n

Si d =1,lasumaes n+

2
d=2, PD
2
dr ny 1D _3mn—n
2 2
d=4, [Ce A NA
2
ds pb) _Smn—3n
2 2
d=6, ns =3nn—2n
yz n+ nn D _ Imn—5Sn
2 2
d=8, Eo a
Eso; nn mb) _2nmn—Tn

2 hs

128

Sd 10n(n—1)

= 5nn — 4n

CAPÍTULO V
DE LA RAZÓN GEOMÉTRICA

384. La razón geométrica de dos números se encuentra al resolver la cuestión de
cuántas veces es uno de tales números mayor que el otro. Esto se hace dividiendo uno [de
los números] entre el otro, y el cociente expresará la razón requerida.

385. Así es que aquí habemos de considerar tres cosas: primera, al primero de los
dos números dados, que llamaremos antecedente; segunda, al otro número, que llamaremos
consecuente, y tercera, a la razón de los dos números o al cociente que resulta de la división

del antecedente entre el consecuente. Por ejemplo, si se requiriese la relación de los
números 18 y 12, 18 es el antecedente, 12 el consecuente, y > =15 la razón, de donde

vemos que el antecedente contiene al consecuente una y media veces.

386. Es una práctica común representar la relación geométrica por dos puntos,
puestos uno encima del otro, colocados entre el antecedente y el consecuente. Así, a:b
significa la relación geométrica entre estos dos números, o la razón de b a a. Ya vimos que
este signo se emplea para representar la división, y es precisamente por esta razón por la
que hacemos uso de él aquí. Esto porque, para conocer esta razón, debemos dividir a entre
b. La relación expresada por este signo se lee simplemente como a es a b.

387. Expresamos, entonces, la relación por una fracción cuyo numerador es el
antecedente y cuyo denominador es el consecuente. En aras de la claridad, se requiere que
esta fracción se reduzca siempre a sus términos mínimos, lo que conseguimos, como ya

hemos visto, al dividir tanto al numerador como al denominador entre su máximo común
E ., 18 / E. dado
divisor. De esta manera, la fracción 13 se convierte en > s1 dividimos ambos de sus

términos entre 6.
388. Así es que las relaciones sólo difieren en la medida en que sus razones sean
distintas, y habrá tantos tipos de relaciones geométricas como podamos concebir razones

distintas. El primer tipo es, sin duda, aquel en donde la razón se vuelve una unidad. Este

129

caso tiene lugar cuando los dos números son iguales, como en 3:3; 4:4; a:a, etc. Aquí
la razón es 1, y es por esto que la llamamos una relación de igualdad.

Después siguen aquellas relaciones en donde la razón es otro número entero, como
en 4:2, donde la razón es 2 y se le llama razón doble; en 12:4 la razón es 3 y se le llama
razón triple; en 24:6 la razón es 4 y se le llama razón cuádruple, etc.

Después de éstas siguen aquellas relaciones cuyas razones son expresadas por

fracciones, como 12:9, donde la razón es : O 1 18:27, donde la razón es S etc.

También podemos distinguir aquellas relaciones en donde el consecuente contiene
exactamente dos, tres, cuatro, etc., veces al antecedente, como en 6:12, 5:15, 4:16, etc.,
a cuyas razones algunos les llaman subduplo, etcétera.

Además, llamamos racional a la razón que es un número expresable, como 11:7,
8:15, etc., donde el antecedente y el consecuente son números enteros, e irracional a la
razón que no puede ser expresada exactamente ni por enteros ni por fracciones, como
05:8, 4: 3, etc.

389. Sea a el antecedente, b el consecuente, y d la razón. Ya sabemos que si a y b

E a j , ! ,
están dados, d= Ae Si estuviesen dados el consecuente b junto con la razón d,
encontraríamos que el antecedente es a = bd , porque bd dividido entre b da d. Por último,

a 5 a
cuando están dados el antecedente a y la razón d, encontramos que el consecuente es b= E

po a E
porque, al dividir el antecedente a entre el consecuente q obtenemos el cociente d, esto

es, la razón.
390. Toda relación a:b sigue siendo la misma aunque multipliquemos o dividamos

al antecedente y al consecuente por el mismo número, porque la razón es la misma. Sea d la

> a , ; e e
razón de a:b; entonces d = E Ahora bien, la razón de la relación na:nb también es
a , ab . a
—=d,, y la de la relación —:— es igualmente —=d.

b n n b

130

391. Una vez reducida una razón a sus términos mínimos, es fácil percibir y

h y , a z ' 2
enunciar la relación. Por ejemplo, cuando la razón ” ha sido reducida a la fracción 2 z
q

decimos que a:b=p:q oque a:b:: p:q,lo que se lee como a es ab como pes a q. Así,
siendo > o 2, la razón de la relación 6:3, decimos que 6:3=2:1. Del mismo modo

tenemos que 18:12=3:2, que 24:18=4:3, que 30:45=2:3, etc. Pero si la razón no
puede ser reducida, la relación no se hará más evidente; no simplificamos la relación
diciendo que 9:7=9:7.

392. Por otro lado, a veces es posible transformar la relación de dos números muy
grandes en una que sea más simple y evidente al reducir ambos de sus términos a sus
términos mínimos. Por ejemplo, podemos decir que 28844:14422=2:1, o que
10566 :7044=3:2,0 que 57600: 25200=16:7.

393. Por lo tanto, para expresar cualquier relación de la manera más clara posible, es
necesario reducirla a los números más pequeños posibles. Esto se consigue fácilmente al
dividir los dos términos de la relación entre su máximo común divisor. Por ejemplo, para
reducir la relación 57600:25200 a la de 16:7, únicamente tenemos que llevar a cabo la
operación de dividir los números 576 y 252 entre 36, que es su máximo común divisor.

394. Es importante, pues, saber cómo encontrar al máximo común divisor de dos

números dados, pero esto requiere una regla que expondremos en el siguiente capítulo.

CAPÍTULO VI
DEL MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE DOS NÚMEROS DADOS

395. Existen algunos números que no tienen otro divisor común excepto la unidad, y
cuando el numerador y el denominador de una fracción son de esta naturaleza, no podemos
reducirla a una forma más conveniente. Los dos números 48 y 35, por ejemplo, no tienen
divisor común alguno, aunque cada uno tiene sus propios divisores. Por esta razón no
podemos expresar la relación 48:35 de manera más simple, porque la división de dos

números entre 1 no los disminuye.

131

396. Pero si los dos números tienen un divisor común, éste se encuentra a partir de
la siguiente regla: divídase al mayor de los dos números entre el menor; después, divídase
al divisor precedente entre el residuo, y lo que queda en esta segunda división se volverá
después un divisor para una tercera división en donde el residuo del divisor precedente
será el dividendo. Debemos seguir con esta operación hasta que lleguemos a una división
que no deje ningún residuo; el divisor de esta división, y consecuentemente el último
divisor, será el máximo común divisor de los dos números dados.

Veamos esta operación para los dos números 576 y 252.

25235760

504
72)252(3
216
36)72(2
72
O.
Así que, en este caso, el máximo común divisor es 36.

397. Será conveniente ilustrar esta regla con algunos otros ejemplos. Requiérase el
máximo común divisor de los números 504 y 312.

312)504(1

312
1921312(1
192
120)192(1
120
72312011
12
48)72(1
48
24)48Q
48
O.

132

Así que 24 es el máximo común divisor y, consecuentemente, la relación 504:312 se
reduce a la forma 21:13.

398. Supongamos como dada la relación 625:529 y requiérase el máximo común
divisor de estos dos números.

529)625(1

529
96)529(5
480
49)96(1
49
47)49(1
47
214723
46
12Q
2
0.
Por lo tanto, 1 es, en este caso, el máximo común divisor, y en consecuencia no podemos
expresar la relación 625:529 por números menores ni reducirla a menos términos.

399. En este momento resulta apropiado ofrecer una demostración de esta regla.
Para esto, sea a el mayor y b el menor de los números dados, y d uno de sus divisores
comunes. Es evidente que, a y b siendo divisibles entre d, también podemos dividir las
cantidades a—b,a—2b,a-—3b y, en general, a—nb, entre d.

400. Lo contrario no es menos cierto, esto es, si los números b y a—nb son
divisibles entre d, el número a también lo será. Esto porque, siendo nb divisible entre d, no
podríamos dividir a—nb entre d si a no fuese también divisible entre d.

401. Observamos, además, que si d es el máximo común divisor de dos números b y
a—nb , también será el máximo común divisor de los dos números a y b. Esto porque, si se
encontrase otro máximo común divisor que no fuese d para estos números a y b, tal número
también sería un divisor común de b y de a—nb y, en consecuencia, d no sería el máximo

común divisor de estos dos números. Pero hemos supuesto que d es el máximo común

133

divisor de b y a—nb, de donde se sigue que d también debe ser el máximo común divisor
de a y b.

402. Una vez establecidas estas tres cosas, dividamos, de acuerdo con nuestra regla,
al mayor número a entre el menor b, y supongamos que el cociente es =n. El resto será
a—nb, que debe ser menor que b. Ahora, este resto a—mnb, teniendo el mismo máximo
común divisor que b, como los números dados a y b, sólo tenemos que repetir la división,
dividiendo al divisor precedente b entre el resto a—nb , y este nuevo resto obtenido tendrá
el mismo máximo común divisor que el divisor precedente, y así sucesivamente.

403. Procedemos del mismo modo hasta que lleguemos a una división sin resto, esto
es, a una en donde el resto sea nada. Sea p el último divisor, contenido exactamente un
cierto número de veces en su dividendo; éste será, por tanto, divisible entre p, y tendrá la
forma mp, de tal forma que los números p y mp son ambos divisibles entre p. Lo cierto es
que no tendrán máximo común divisor alguno, porque ningún número puede ser dividido
entre un número mayor que sí mismo. En consecuencia, este último divisor es también el
máximo común divisor de los números dados a y b, y es así como demostramos la regla
establecida.

404. Podemos ofrecer otro ejemplo más de esta regla al requerir el máximo común
divisor de los números 1728 y 2304. La operación es como sigue:

1728)2304(1

1728
576(1728(3
1728
0.
De esto se sigue que 576 es el máximo común divisor, y que la relación 1728:2304 se

reduce a 3:4, es decir, 1728 es a 2304 lo mismo que 3 es a 4.

CAPÍTULO VII
DE LAS PROPORCIONES GEOMÉTRICAS

405. Dos relaciones geométricas son iguales cuando sus razones son iguales. A esta

igualdad de dos relaciones se le llama proporción geométrica, y escribimos, por ejemplo,

134

a:b=c:d o a:b::c:d para indicar que la relación a:b es igual a la relación c:d ; pero

esto se expresa de manera más simple diciendo que a es a b como c es a d. La siguiente es
una proporción de este tipo: 8:4=12:6, porque la razón de la relación 8:4 es y y ésta

también es la razón de la relación 12: 6.

406. Así que a:b=c:d siendo una proporción geométrica, la razón debe ser la

: A : a Cc .
misma en ambos lados, y ; recíprocamente, si las fracciones y a son iguales,

S—|S
a|o

tenemos que a:b::c:d.

407. Una proporción geométrica consiste, por tanto, en cuatro términos tales que el
primero dividido entre el segundo da el mismo cociente que el tercero dividido entre el
cuarto. De aquí deducimos una importante propiedad común a toda proporción geométrica,
a saber, que el producto del primero y del último término siempre es igual al producto del
segundo y del tercero o, más simple, que el producto de los [términos] extremos es igual al
producto de los [términos] medios.

408. Para demostrar esta propiedad, tomemos la proporción geométrica a:b=c:d
O IE eS j bc
de modo que » = d Si multiplicamos estas dos fracciones por b, obtenemos a = q” y

multiplicando además ambos lados por d, tenemos ad =bc . Ahora, ad es el producto de
los términos extremos, y bc el de los medios, y estos dos productos resultan ser iguales.
409. Recíprocamente, si los cuatro términos a, b, c, d son tales que el producto de
los dos extremos a y d es igual al producto de los dos medios b y c, estamos seguros de que
forman una proporción geométrica. Esto porque, como ad = bc, sólo tenemos que dividir

ad bc a c
e =-—, y consecuentemente a:b=c:d.

bd bd b d

ambos lados entre bd, lo que nos da

410. Los cuatro términos de una proporción geométrica, como a:b=c:d , pueden
ser transpuestos de distintas maneras sin destruir la proporción, porque la regla siempre
siendo que el producto de los extremos es igual al producto de los medios o que ad =bc,
podemos decir que: primero, b:a=d:c; segundo, a:c=b:d; tercero, d:b=c:a;
cuarto, d:c=b:a.

411. Además de estas cuatro proporciones geométricas, podemos deducir unas

cuantas más de la misma proporción a:b=c:d. Podemos decir que el primer término

135

más el segundo es al primero como el tercero más el cuarto es al tercero, esto es, que
a+b:a=c+d:c.

También podemos decir que el primero menos el segundo es al primero como el
tercero menos el cuarto es al tercero, o que a—b:a=c=d:c. Porque, si tomamos el
producto de los extremos y los medios, tenemos ac=bc=ac=—ad , que evidentemente
lleva a la igualdad ad =bc.

Por último, es fácil demostrar que a+b:b=c+d:d yque a-b:b=c-d:d.

412. Todas las proporciones que hemos deducido de a:b=c:d pueden
representarse, en general, como sigue: ma+nb: pa+qb =mc +nd : pc+ qd . Esto porque
el producto de los términos extremos es mpac + npbe + mgad + nqbd que, ya que ad =bc,
se vuelve mpac + npbc + mqbc + nqbd . Además, el producto de los términos medios es
mpac + mqbc + npad +nqbd o, ya que ad =bc , es mpac + mqbc + npbe + ngbd , así que
los dos productos son iguales.

413. Es evidente, entonces, que estando dada una proporción geométrica, por
ejemplo 6:3=10:5, pueden deducirse de ella infinitas otras. Sólo ofreceremos unas
cuantas:

3:6=5:10:6:10=3:5:9:6=15:10:3:3=5:5:9:15=3:5:9:3=15:5.

414. Ya que en toda proporción geométrica el producto de los extremos es igual al
producto de los medios, podemos encontrar, cuando son conocidos los tres primeros
términos, al cuarto a partir de ellos. Sean los tres primeros términos 24:15=40:al cuarto
término. Como aquí el producto de los medios es 600, el cuarto término multiplicado por el
primero, esto es, por 24, también debe dar 600. Consecuentemente, al dividir 600 entre 24,
el cociente 25 será el cuarto término requerido, y la proporción completa será
24:15=40:25. En general, por tanto, si los tres primeros términos son a:b=cC:...,

ponemos d para la cuarta letra desconocida, y como ad =bc , dividimos ambos lados entre
bc a uE bc pd

a y tenemos d =-—. Así que el cuarto término es =-—, y se encuentra al multiplicar el
a a

segundo término por el tercero y dividiendo tal producto entre el primer término.
415. Este es el fundamento de la célebre regla de tres en la aritmética; pero ¿qué se

requiere en esa regla? Suponemos tres números dados y buscamos un cuarto que puede

136

estar en proporción geométrica, así que el primero puede ser al segundo como el tercero es
al cuarto.

416. En este punto requieren nuestra atención algunas circunstancias particulares.
Primero, si en dos proporciones los términos primero y tercero son los mismos, como en
a:b=c:d y a:f=cC:g, yo digo que los dos segundos términos y los dos cuartos
términos también estarán en una proporción geométrica, y que b:d= f': g. Porque, la
primera proporción siendo transformada en esto: a:c=b:d, y la segunda en esto:
a:c=f':g,se sigue que las relaciones b:d y f: g son iguales, ya que cada una de ellas
es igual a la relación a:c. Por ejemplo, si 5:100=2:40 y 5:15=2:6, debemos tener
que 100:40=15:6.

417. Pero si las dos proporciones son tales que los términos medios son los mismos
en ambas, yo digo que los primeros términos estarán en una proporción inversa con los
términos cuartos. Esto es, si a:b=c:d y f :b=cC:g, se sigue que a: f = 2 :d . Sean las
proporciones, por ejemplo, 24:8=9:3 y 6:8=9:12; entonces tenemos que 24:6=12:3
. La razón de esto es evidente: la primera proporción da ad =bc; la segunda fg =bc, y
por lo tanto ad = fe ya:f=2g:d0a:g::f:d.

418. Estando dadas dos proporciones, siempre podemos producir una nueva al
multiplicar, por separado, el primer término de la primera por el primer término de la
segunda, el segundo [término de la primera] por el segundo [término de la segunda], y así
sucesivamente con respecto a los demás términos. Así, las proporciones a:b=c:d y
e: f =2g:h producirán esto: ae: bf =cg : dh. Esto porque, la primera [proporción] dando
ad =bc y la segunda dando eh= fg , tenemos también que adeh = bcfg . Ahora, adeh es el
producto de los extremos y bcfg es el producto de los medios en la nueva proporción, y
siendo iguales los dos productos, la proporción es verdadera.

419. Sean las dos proporciones, por ejemplo, 6:4=15:10 y 9:12=15:20; su
combinación dará la proporción 6x9:4x12=15x15:10x20 o 54:48=225:200 o
9:8=9:8.

420. Por último, debemos observar que, si dos productos son iguales, como en
ad =bc, recíprocamente podemos convertir esta igualdad en una proporción geométrica,

porque siempre tendremos uno de los factores del primer producto en la misma proporción

137

con uno de los factores del segundo producto como el otro factor del segundo producto es
al otro factor del primer producto; esto es, en nuestro caso, a:c=b:d o a:b=c:d. Sea
3x8=4x6; de esto podemos formar esta proporción: 8:4=6:3,0 esta: 3:4=6:8. Del

mismo modo, si 3x5=1x15, tendremos 3:15=1:505:1=15:303:1=15:5.

CAPÍTULO VIII
OBSERVACIONES SOBRE LAS REGLAS DE PROPORCIÓN Y SU UTILIDAD

421. Esta teoría es tan útil que, en los sucesos de la vida cotidiana, casi ninguna
persona puede dejarla de lado. Siempre hay una proporción entre precios y bienes, y cuando
se intercambian distintos tipos de moneda, todo consiste en determinar sus relaciones
mutuas. Los ejemplos ofrecidos por estas reflexiones serán muy apropiados para ilustrar los
principios de la proporción y para mostrar su utilidad a partir de su aplicación.

422. Si quisiésemos conocer, por ejemplo, la relación entre dos tipos de moneda,
supongamos entre un viejo Luis de oro y un ducado, primero debemos conocer el valor de
tales piezas cuando son comparadas con otras del mismo tipo. Así, un viejo Luis de oro
valiendo en Berlín 5 dólares rix? y 3 dracmas, * y un ducado valiendo 3 dólares rix,
podemos reducir estos dos valores a una denominación: o bien a dólares rix, lo que da la

proporción IL:1D=5_R:3R o=16:9, o bien a dracmas, en cuyo caso tenemos

1£:1D=128:72=16:9. Estas proporciones evidentemente dan la verdadera relación del
viejo Luis de oro con el ducado, porque la igualdad de los productos de los [términos]
extremos y medios da, en ambas, 9 Luises = 16 ducados, y por medio de esta comparación
podemos cambiar cualquier suma de viejos Luises en ducados y viceversa. Supongamos
que se requiriese decir cuántos ducados hay en 1000 viejos Luises. Entonces tenemos esta

regla de tres: si 9 Luises son iguales a 16 ducados, ¿a qué son iguales 1000 Luises? La

7
respuesta será: a ES ducados.

> El dólar rix de Alemania vale 92 centavos 6 milésimos, y una dracma es 1/24 parte de un dólar rix.
% En buena parte de lo que sigue, Euler ofrece ejemplos con monedas que ya no están en curso. Por razones de
lealtad al texto original, he decidido no modificar esta práctica. Nota del Traductor.

138

Si, por el contrario, se requiriese encontrar cuántos Luises de oro hay en 1000

ducados, tenemos la siguiente proporción. Si 16 ducados son iguales a 9 Luises, ¿a qué son
. Ea z
iguales 1000 ducados? La respuesta es: a a viejos Luises de oro.

423. Aquí (en Petersburgo) el valor del ducado varía, y depende del curso del
intercambio. Este curso determina el valor del rublo en stivers, o medio penique holandés,
105 de los cuales hacen un ducado.

Así que cuando el intercambio está en 45 stivers, tenemos esta proporción: 1 rublo :
1 ducado =45:105=3:7, y por tanto esta igualdad: 7 rublos = 3 ducados.

A partir de esto encontraremos el valor de un ducado en rublos, porque 3 ducados :
7 rublos = 1 ducado :...; la respuesta es 2 rublos.

Si el intercambio estuviese en 50 stivers, tendríamos esta proporción: 1 rublo : 1

ducado=50:105=10:21, lo que daría 21 rublos = 10 ducados, y tendríamos que 1 ducado

1 . ñ ; o .
= 10 rublos. Por último, cuando el intercambio está en 44 stivers, tenemos que 1 rublo : 1

ducado= 44:105, y consecuentemente 1 ducado = 27 rublos= 2 rublos 38 cópecs.”

424. De esto se sigue que también podemos comparar distintos tipos de moneda que
con frecuencia tenemos ocasión de hacer en letras de cambio. Supongamos, por ejemplo,
que una persona de este lugar [Petersburgo] tiene 1000 rublos que le serán pagados en

Berlín, y que quiere saber el valor de esta suma en ducados en Berlín.

El intercambio aquí es 475, esto es, un rublo son 475 stivers. En Holanda, 20

: A 1 ; ¿ z z
stivers son un florín; 2 florines holandeses son un dólar holandés. Además, el

intercambio de Holanda con Berlín está en 142, esto es, por cada 100 dólares holandeses se
pagan 142 dólares en Berlín. Por último, el ducado vale 3 dólares en Berlín.

425. Para resolver las cuestiones propuestas, procedamos paso a paso. Comenzando,

pues, con los stivers, ya que 1 rublo= 47 stivers, 0 2 rublos=95 stivers, tendremos que 2

7 Un cópec es la décima parte de un rublo, como fácilmente se deduce de lo escrito arriba.

139

rublos : 95 stivers = 1000 : ...respuesta: 47500 stivers. Si vamos más allá y decimos 20
stivers : 1 florín = 47500 stivers, tendremos 2375 florines. Además, 2 florines = 1 dólar

holandés, o 5 florines = 2 dólares holandeses; por tanto tendremos que 5 florines : 2 dólares
holandeses = 2375 florines : ...respuesta: 950 dólares holandeses.

Entonces, tomando los dólares de Berlín de acuerdo con el intercambio en 142,
tendremos que 100 dólares holandeses : 142 dólares = 950 : ...es al cuarto término, 1349

dólares de Berlín. Pasemos, por último, a los ducados, y digamos que 3 dólares : 1 ducado
= 1349 dólares : ...respuesta: 4497 ducados.

426. Para completar todavía más estos cálculos, supongamos que el banquero de
Berlín se rehúsa, bajo algún pretexto u otra cosa, a pagar esta suma, y a exceptuar la letra

de cambio sin el descuento de cinco por ciento, esto es, pagando sólo 100 en lugar de 105.

En ese caso, debemos hacer uso de la siguiente proporción: 105:100 = 4492: ... es a un

cuarto término que es 48 ducados.

427. Hemos mostrado que son necesarias seis operaciones al hacer uso de la regla
de tres, pero podemos abreviar considerablemente tales cálculos por una regla llamada
regla de reducción. Para explicar esta regla, primero debemos considerar los dos

antecedentes de cada una de las seis operaciones precedentes:

TI. 2 rublos : 95 stivers.

II. 20 stivers : 1 florín holandés.
TIT. 5 florines h. : 2 dólares holandeses.
TV. 100 dólares h. : 142 dólares.

V. 3 dólares : 1 ducado.

VI 105 ducados : 100 ducados.

Si ahora vemos los cálculos anteriores, observaremos que siempre hemos
multiplicado la suma dada por los segundos términos, y que hemos dividido los productos
entre el primero; es evidente, entonces, que llegaremos a los mismos resultados si
multiplicamos, de una vez, la suma propuesta por el producto de todos los segundos

términos y dividimos entre todos los primeros términos. O, lo que viene a ser lo mismo,

140

sólo tenemos que hacer la siguiente proporción: así como el producto de todos los primeros
términos es al producto de todos los segundos términos, también es el número dado de
rublos al número de ducados pagaderos en Berlín.

428. Este cálculo puede abreviarse todavía más cuando, entre los primeros términos,
se encuentran algunos que tienen divisores comunes con algunos de los segundos términos,
porque en este caso destruimos tales términos y sustituimos al cociente que surge de la
división por tal divisor común [o común divisor, si se quiere]. De esta manera, el ejemplo
anterior asumirá la siguiente forma:

Como (2.20.5.100.3.105) :1000:: (95.2.142.100) : -20.95.2.142.100. después de

2.20.5.100.3.105

cancelar los divisores comunes en el numerador y en el denominador esto se vuelve

10.19.142 _ 26980 _ 428 ña ducados, tal como antes.
301 63 63

429. El método a observar al utilizar la regla de reducción es el siguiente:
comenzamos con el tipo de moneda en cuestión y lo comparamos con otro que ha de
comenzar la siguiente relación, en donde comparamos este segundo tipo con un tercero, y
así sucesivamente. Cada relación, por tanto, comienza con el mismo tipo que con el que
terminó la relación precedente. Esta operación continúa hasta que llegamos al tipo de
moneda que requiere la respuesta y, al final, consideramos los restos fraccionarios.

430. Propondremos otros ejemplos para facilitar la práctica de este cálculo.

Si los ducados ganan en Hamburgo 1 por ciento sobre dos dólares, es decir, si 50
ducados valen, no 100, sino 101 dólares, y si el intercambio entre Hamburgo y Kónigsberg
es 119 dracmas de Polonia, esto es, si 1 dólar da 119 dracmas polacos, ¿cuántos florines
polacos darán 1000 ducados?

Dando por entendido que 30 dracmas polacos hacen 1 florín polaco,

1 : 1000 :: 2 dólares

100 — 101 dólares

1 —-119 dracmas polacos

30 — 1 florín polaco;

por lo tanto,

141

1000.2.101.119 _ 2.101.119 80122 florines
100.30 3 3

(100.30) :1000:: (2.101.119):

polacos (respuesta).

431. Propondremos otro ejemplo para ilustrar todavía más este método.

Ducados de Ámsterdam son llevados a Leipzig, teniendo en la primera ciudad el
valor de 5 florines 4 stivers de curso legal, esto es, un ducado vale 104 stivers y 5 ducados
valen 26 florines holandeses. Si, por tanto, el agio del banco? en Ámsterdam es 5 por

ciento, es decir, si 105 moneda corriente es igual a 100 moneda banco, y si el intercambio

0 : . 1 , A
de Leipzig a Amsterdam, en dinero de banco, es en por ciento, esto es, si por 100

dólares pagamos en Leipzig 133, dólares, y por último, 2 dólares holandeses son 3

florines holandeses, se requiere determinar cuántos dólares debemos pagar en Leipzig, de
acuerdo con estos intercambios, por 1000 ducados.

Por la regla,

5 : 1000 :: 26 florines h. (corriente)

105 — 100 florines h. (banco)

400 — 533 dólares de Leipzig

5 — 2 dólares (banco)

por lo tanto,

Como
(5.105.400.5) : 1000 :: (26.100.533.2): nd e = OS = 2639 dólares O
5.105.400.5 21 21
2639 dólares y 15 dracmas.
CAPÍTULO IX

DE RELACIONES COMPUESTAS

432. Las relaciones compuestas se obtienen al multiplicar los términos de dos o más

relaciones, los antecedentes por los antecedentes y los consecuentes por los consecuentes;

8 a , E > %
La diferencia de valor entre dinero de banco y dinero corriente.

142

entonces decimos que la relación entre tales dos productos está compuesta de las relaciones
dadas.
Así, las relaciones a:b,c:d,e: f dan la relación compuesta ace : bdf ze
433. Una relación sigue siendo la misma cuando dividimos ambos de sus términos
entre el mismo número para abreviarla; podemos facilitar enormemente la composición
anterior al comparar los antecedentes y los consecuentes con el propósito de hacer tales
reducciones como lo hicimos en el último capítulo.
Por ejemplo, encontramos la relación compuesta de las siguientes relaciones dadas
así:
Relaciones dadas
12 : 25, 28: 33, y 55 : 56.
Lo que se vuelve
(12.28.55) : (25.33.56) =2 : 5
al cancelar los divisores comunes.
Así que 2 : 5 es la relación compuesta requerida.
434. La misma operación ha de ser realizada cuando requerimos calcular con letras,
y el caso más notable es en el que cada antecedente es igual al consecuente de la relación
precedente. Si las relaciones dadas son
a:b
b:c
c:d
d:e
e:a,
la relación compuesta es 1: 1.
435. La utilidad de estos principios será percibida cuando observemos que la
relación entre dos campos cuadrados está compuesta de las relaciones de las longitudes y

las anchuras.

? Se dice que cada una de estas razones [proporciones] es una de las raíces de la razón [proporción]
compuesta.

143

Sean los dos campos, por ejemplo, A y B; tenga A 500 pies de longitud por 60 pies
de anchura, y B 360 pies de longitud por 100 pies de anchura. La relación de las longitudes
será 500 : 360, y la de las anchuras 60 : 100. Así que tenemos

(500.60) : (360.100) =5 : 6.
Por lo cual el campo A es al campo B como 3 es a 6.

436. Otro ejemplo. Tenga el campo A 720 pies de longitud y 88 pies de anchura;
tenga el campo B 660 pies de longitud y 90 pies de anchura. Las relaciones estarán
compuestas de la siguiente manera:

Relación de las longitudes: 720 : 660
Relación de las anchuras: 88 : 90,
y al cancelar, la relación de los campos A y Bes 16: 15.

437. Más lejos, si se requiriese comparar dos cuartos con respecto al espacio, o a los
contenidos, observamos que tal relación está compuesta de tres relaciones, a saber, la de las
longitudes, la de las anchuras, y la de las alturas. Hayan, por ejemplo, un cuarto A cuya
longitud = 36 pies, anchura = 16 pies, y altura = 14 pies y un cuarto B cuya longitud = 42
pies, anchura = 24 pies, y altura = 10 pies; tendremos entonces estas tres relaciones:

Para la longitud: 36 : 42

Para la anchura: 16 : 24

Para la altura: 14 : 10
Y cancelando las medidas comunes esto se vuelve 4 : 5. Así, los contenidos del cuarto A
son a los contenidos del cuarto B como 4 esa 5.

438. Cuando las relaciones que componemos de esta manera son iguales, resultan
relaciones multiplicadas, a saber, dos relaciones iguales dan una razón duplicada o razón
de los cuadrados; tres relaciones iguales producen una razón triplicada O razón de los
cubos, y así sucesivamente. Por ejemplo, las relaciones a:b y a:b dan la relación
compuesta aa: bb, y por eso decimos que los cuadrados están en la razón duplicada de sus
raíces. Y la razón a:b multiplicada tres veces da la razón a' :b*, y decimos que los cubos
están en la razón triplicada de sus raíces.

439. La geometría enseña que dos espacios circulares están en la relación duplicada

de sus diámetros; esto significa que son el uno al otro como los cuadrados de sus diámetros.

144

Sea A un espacio circular teniendo el diámetro =45 pies y B otro espacio circular
cuyo diámetro =30 pies; el primer espacio será al segundo como 45x45 es a 30x30 o,
componiendo estas dos relaciones iguales, como 9:4. Por consiguiente, las dos áreas son
el uno al otro como 9 es a 4.

440. También se ha demostrado que los contenidos sólidos de las esferas están en la
razón de los cubos de los diámetros. Así, siendo de 1 pie el diámetro de un globo A y de 2
pies el diámetro de un globo B, los contenidos sólidos de A serán a aquellos de B como
1*:2% ocomo 1esa8.

Si, por tanto, las esferas están formadas de la misma sustancia, la esfera B pesará 8
veces más que la esfera A.

441. Es evidente que de esta manera podemos encontrar el peso de balas de cañón,
sus diámetros, y el peso de una estando dada. Por ejemplo, esté la bala de cañón A, cuyo
diámetro = 2 pulgadas y peso = 3 libras y, si se requiriese el peso de otra bala de cañón
cuyo diámetro es = 8 pulgadas, tenemos esta proporción: 2?:8*=5:... al cuarto término,

320 libras, que da el peso de la bala B. Para otra bala de cañón C cuyo diámetro = 15

pulgadas, tendremos 2*:15* =5:... respuesta: 2109. libras.

; ES ¿ Dia
442. Cuando se requiere la proporción de dos fracciones, como e, siempre

podemos expresarla en números enteros, porque sólo tenemos que multiplicar las dos

fracciones por bd para obtener la proporción ad : bc, que es igual a la otra; de donde resulta

la proporción a q ad : bc. Si, por tanto, ad y bc tienen divisores comunes, la proporción
: E E Ls
puede reducirse a menos términos. Así, 24 : 36 =15x36:24x25=9:10.

Dt y , 1 1 y
443. Si quisiésemos conocer la proporción de las fracciones — y p* es evidente que
a

a 1 1 AS e .
tendríamos A que expresamos diciendo que dos fracciones que tienen una
a

unidad como numerador están en la proporción recíproca o inversa de sus denominadores.

Lo mismo puede decirse de dos fracciones que tienen cualquier numerador común, porque

145

Ñ ; ; . ; a b ,
=b:a. Pero si dos fracciones tienen denominadores iguales, como —:—, están en la
6

S|0a

a |0

proporción directa de los numeradores, a saber, como a:b. Así,
Semi =6:3=251 y 5 =10:15 0. =273

444. Se observa que en la caída libre de los cuerpos, un cuerpo cae 16 pies en un
segundo, que en dos segundos cae de la altura de 64 pies, que en tres segundos cae 144
pies; por tanto se concluye que las alturas son entre sí como los cuadrados de los tiempos, y
que, recíprocamente, los tiempos están en la proporción subduplicada de las alturas, o como
las raíces cuadradas de las alturas.

Entonces, si se requiriese encontrar cuánto tarda una piedra en caer desde una altura
de 2304 pies, tenemos 16:2304=1:... al cuadrado del tiempo buscado. Así que el
cuadrado del tiempo buscado es 144, y consecuentemente el tiempo requerido es 12
segundos.

445. Se requiere encontrar qué tanto, o a través de qué altura, pasará una piedra al
caer por el espacio de una hora, esto es, de 3600 segundos; entonces decimos que
1? :3600” ::16: 207360000 pies, la altura requerida.

Reduciendo esto descubrimos que es igual a 39272 millas, casi cinco veces más
grande que el diámetro de la Tierra.

446. Es lo mismo con respecto al precio de las piedras preciosas, que no se venden
en la proporción de su peso; todo mundo sabe que sus precios siguen una proporción
mucho mayor. La regla para los diamantes es que el precio está en la proporción duplicada
del peso, esto es, la razón de los precios es igual al cuadrado de la razón de los pesos. El
peso de un diamante se expresa en quilates, y un quilate es equivalente a 4 granos; si, por
tanto, un diamante de un quilate vale 10 libras francesas, un diamante de 100 quilates
valdrá tantas veces 10 libras como el cuadrado de 100 contiene 1; así que tendremos, de
acuerdo con la regla de tres, que 1:10000::10:...respuesta: 100000 libras francesas.

En Portugal hay un diamante que pesa 1680 quilates; entonces su precio se
encontrará haciendo 1” :1680” ::10: 28224000 libras francesas.

447. Las postas o el modo de viajar en Francia proporcionan ejemplos de

proporciones compuestas, ya que el precio se establece de acuerdo con la proporción

146

compuesta del número de caballos y del número de leguas o postas. Por ejemplo, un caballo

costando 20 sous por posta, se requiere encontrar cuánto debe pagarse por 28 caballos y
4! ostas
E

Primero escribimos la razón de los caballos: 1 : 28.

Bajo esta razón ponemos la de las etapas o postas: 2 : 9,

Componiendo las dos razones tenemos: 2 : 252 0 1:126=1 libra es a 126 francos o
42 coronas.

De nuevo, si pago un ducado por ocho caballos para 3 millas, ¿cuánto debo pagar
por treinta caballos para cuatro millas? El cálculo es como sigue:

8:30

3:4

Al componer estas dos proporciones, y abreviando, tenemos que 1 : 5 :: 1 ducado : 5
ducados, que es la suma requerida.

448. Ocurre la misma composición cuando ha de pagarse a los trabajadores, porque
por lo general tales pagos siguen la razón compuesta del número de trabajadores y del de
los días que han estado empleados.

Si, por ejemplo, se le dan 25 sous por día a un albañil, y se requiere encontrar
cuánto debe pagarse a 24 albañiles que han trabajado por 50 días, establecemos este
cálculo:

1:24

1:50

1 : 1200 :: 25 : 30000 sous o 1500 francos.

Como en estos ejemplos están dadas cinco cosas, a la regla que sirve para

resolverlos a veces se le llama, en los libros de aritmética, la regla de cinco.

CAPÍTULO X
DE LAS PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

449. A una serie de números que siempre se están volviendo mayores o menores un
cierto número de veces se le llama progresión geométrica, porque cada término está
constantemente con el siguiente [número] en la misma proporción geométrica. Al número

147

que expresa cuántas veces cada término es mayor que el precedente se le llama exponente.
Así, cuando el primer término es 1 y el exponente es = 2, la progresión geométrica se
vuelve

Términos 123456 7 8 9, etc.

Progresión 1,2, 4,8, 16, 32, 64, 128, 256, etc.
Los números 1, 2, 3, etc., siempre marcan el lugar que cada término mantiene en la
progresión.

450. Si suponemos, en general, que el primer término es =a y que el exponente es
=b, tenemos la siguiente progresión geométrica:

Términos Y. 2; 3, 4, 5, 6, 7, 8... NM

Progresión a, ab, ab?, ab?, ab, ab”, ab”, ab”,... ab””.

Así que, cuando esta progresión consiste en n términos, el último término es = ab"
. Aquí debemos observar que si el exponente b es mayor que una unidad, los términos
aumentan continuamente; si el exponente b=1, los términos son iguales, y por último, si el

exponente b es menor que 1, o es una fracción, los términos disminuyen continuamente. De

1 0d 7%
esta forma, cuando a=1 y E tenemos la progresión geométrica:

CTI A
"24*8'16'32*64'128”

451. Entonces aquí tenemos que considerar:

etcétera.

I. Al primer término, que hemos llamado a.
II. Al exponente, que hemos llamado b.

TIT. Al número de términos, que hemos expresado con n.

IV. Al último término, que hemos visto que es =ab"”..

Así que cuando están dadas las tres primeras de estas cosas, al último término lo

encontramos multiplicando la n—1 potencia de b, o pe: por el primer término a.

Entonces, si se requiriese el término 50 de la progresión geométrica 1,2,4,8, etc.,
tendríamos que a=1,b=2, y n=50; consecuentemente el término 50 es = 2% Ahora, 2?

siendo =512, 2'” será =1024. De aquí que el cuadrado de 2'” o 2% =1048576, y el

148

cuadrado de este número o 1099511627776 =2*". Multiplicando este valor de 2% por 2* o
por 512, tenemos que 2” es igual a 562949953421312.

452. Una de las principales cuestiones que ocurre aquí es encontrar la suma de todos
los términos de una progresión geométrica, y por tanto explicaremos el método para hacer
esto. Primero, consideremos la siguiente progresión consistente en diez términos:

1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,
cuya suma representaremos por S, de tal forma que
s=1+24+4+8+16+324+64+128+256+512. Al duplicar ambos lados tendremos que
2s=24+4+4+8+164+32+644128+4+256+4+512+1024, y sustrayendo de esto la progresión
representada por s, queda que s =1024—1=1023; por lo tanto la suma requerida es 1023.

453. Ahora supongamos, en la misma progresión, que el número de términos está
indeterminado y que es =n, así que la suma en cuestión o s=1+24+22+24+2%+...+42""
. Si multiplicamos por 2, tenemos que 25=2+2*+2*+2*+...+2”, y sustrayendo de esta
ecuación a la anterior, tenemos que s=2"-—1. Vemos, pues, que encontramos la suma
requerida al multiplicar el último término, 2””*, por el exponente 2 para tener 2”, y
sustraemos una unidad de tal producto.

454. Esto se hará todavía más evidente con los siguientes ejemplos en los cuales
sustituimos sucesivamente, por n, los números 1, 2, 3, 4, etcétera.
1=11+2=31+2+4=7;¡1+2+4+8=15;
1+24+4+8+16=31;1+2+4+8+16+32= 63, etcétera.

455. En este tema suele proponerse la siguiente cuestión. Un hombre se ofrece a
vender su caballo por los clavos de su herradura, que son 32. Demanda 1 liard por el primer
clavo, 2 por el segundo, 4 por el tercero, 8 por el cuarto, y así sucesivamente, demandando
siempre por cada clavo el doble del precio del anterior. Requerimos encontrar cuál será el
precio del caballo.

Evidentemente esta cuestión se reduce a encontrar la suma de todos los términos de
la progresión geométrica 1, 2, 4, 8, 16, etc., continuada hasta el término 32. Ahora bien,
este último término es 2*, y como ya hemos visto que 2” =1048576 y que 2' =1024,
tendremos que 2% x2'=2% es igual a 1073741824; multiplicando otra vez por 2, el

último término 2* = 2147483648, y duplicando este número y sustrayendo una unidad del

149

producto la suma requerida se vuelve 4294967295 liards. Estos liards hacen 10737418237

sous, y dividiendo entre 20 tenemos 53687091 libras, 3 sous y 9 deniers para la suma
requerida.

456. Ahora sea el exponente =3 y requiérase encontrar la suma de la progresión
geométrica 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, consistente en 7 términos. Supongamos que es = s, de
tal forma que s =1+3+9+27+81+243+"729. Entonces tendremos, multiplicando por 3,
3s=3+94+27+81+2434+729+2187, y sustrayendo la serie anterior tenemos
2s =2187-1=2186. Así que el doble de la suma es 2186, y consecuentemente la suma
requerida es =1093.

457. En la misma progresión, sea el número de términos =n y la suma = s, de tal
forma que s=14+3+37+34+3%+..+3"", Si multiplicamos por 3, tenemos
35 =3+3%+37 4+3* +...+3”.. Sustrayendo de esto el valor de s, así como todos sus términos

excepto el primero, y destruyendo todos los términos del valor de 3s excepto el último,

n

tendremos 2s=3"-—1, y por tanto s=

. Así que la suma requerida se encuentra al

multiplicar el último término por 3, sustraer 1 del producto, y dividir el resto entre 2. Esto

también será evidente por los siguientes ejemplos:

1=1;
pal
1 eii
2
1+3+9427 2" 40,
3x81-1

iaa LS o E

458. Ahora supongamos que, en general, el primer término es =a, el exponente
=b, el número de términos =n, y su suma =s, de tal forma que
s=a+ab+ab?+ab?+ab*+..+ab””. Si .multiplicamos por b, tenemos

bs =ab+ ab? + ab? +ab* + ab? +...+ab", y sustrayendo la ecuación de arriba queda

150

(b-1)s=ab" —a, de donde fácilmente deducimos la suma requerida s A

Consecuentemente, la suma de cualquier progresión geométrica se encuentra al
multiplicar el último término por la proporción o exponente de la progresión, y al dividir
la diferencia entre este producto y el primer término entre la diferencia entre 1 y la
proporción.

459. Haya una progresión geométrica de siete términos, de los cuales el primero es

=3, y sea el exponente =2; entonces tendremos que a=3,b=2, y n=", y por tanto el

último término será =3x2? o 3x64=192, y la progresión completa será
3,6,12,24,48,96,192. Además, si multiplicamos el último término 192 por el exponente 2,
tenemos 384; sustrayendo el primer término [3] queda 381, y dividiendo esto entre b=1,0
entre 1, tenemos 381 para la suma de la progresión completa.

460. De nuevo, haya una progresión geométrica de seis términos, y sea 4 el primero

y el exponente =>. La progresión es A Si multiplicamos este último

e 200 3 129 a ; da ñ
término Sr por el exponente 2 tenemos 16 ; la sustracción del primer término 4 deja

el resto ad que, dividido entre b—1= . , da $0 -83) ;
16 2 8 8

461. Cuando el exponente es menor que 1, y consecuentemente cuando los términos
de la progresión continúan disminuyendo, la suma de tal progresión decreciente, que

seguirá hasta el infinito, puede expresarse con precisión.

] 1
Por ejemplo, sea el primer término =1, el exponente = > y la suma =s, de tal

1.1.1 1 1 1 Es
forma que s=1+ -+-+-+-—-+--+--+,etc., ad infinitum.

2.44 8 16 32 64

1.1.1.1 1

Si multiplicamos por 2, tenemos 2s=2+1+_+-+-+--+-_+, etc., ad
2.44 8 16 32

infinitum y, sustrayendo la progresión anterior, nos queda s=2 para la suma de la

progresión infinita propuesta.

151

. , Dn 1
462. Si el primer término es =1, el exponente => y la suma =s, entonces

s=1+ a + z + , + E etc., ad infinitum. Multiplicando todo por 3, tenemos

3.9 27 81

3s=3+1+ : + ; + > , €tc., ad infinitum, y sustrayendo el valor de s queda 2s=3, y por

lo tanto la suma s = 5 Ñ

463. Haya una progresión cuya suma es = s, el primer término =2, y el exponente

= = , de tal forma que s=2+ Z + a + le + ze +, etc., ad infinitum. Multiplicando por E :
4 2.8 32 128 3
tenemos a s= E +2+ S + E + =U + el +, etc., ad infinitum. Sustrayendo ahora la
3 3 2 8 32 128

DE 1 8 í
progresión s, queda 3 s= 3 ; por tanto la suma requerida es =8.
464. Si suponemos, en general, que el primer término es =a y que el exponente de

ds b as
la progresión es =-—, de tal forma que esta fracción puede ser menor que 1 y
C

consecuentemente c ser mayor que b, la suma de la progresión llevada ad infinitum se

2 3 4
ds ab ab? ab” ab
encontrará así: hagamos que s=a+-—+ + +

a 7» etc. Después, multiplicando
A e Cc

b b ab ab? ab? ab?
por —, tendremos —s=-—+ EA
C

C C ce C C

+, etc., ad infinitum, y sustrayendo esta

ES . b a .
ecuación de la anterior queda (l--—)s=a. Consecuentemente s= , y si
E

1-—

a |S

multiplicamos ambos términos de esta fracción por c, tenemos s= . La suma de la

a
progresión geométrica infinita propuesta se encuentra, por tanto, al dividir el primer
término a entre 1 menos el exponente, o al multiplicar el primer término a por el
denominador del exponente y dividir el producto entre el mismo denominador disminuido

por el numerador del exponente.

152

465. Del mismo modo encontramos las sumas de progresiones cuyos términos se

ven alternativamente afectados por los signos + y -. Sea, por ejemplo,
ab ab? ab? ab* dde b

s=a + ES Multiplicando por — tenemos
o eE € Cc E

2 3 4
b ab ab? ab
s= + 3 ñ
Cc Cc cc Cc C

+, etc., y añadiendo esta ecuación a la anterior obtenemos

(1+ 0 = a, de donde deducimos la suma requerida s = A b oO s=
C

z j ino 3
466. Vemos, entonces, que si el primer término a = 5 y el exponente = 7 esto es,

12

si b=2 y c=5, encontramos la suma de la progresión — + + , ete. =1,. ya
20 123 1623

3 es : A
que, al sustraer el exponente de 1 queda 5 y al dividir el primer término entre tal resto el

cociente es 1.
Además, es evidente que si los términos son alternativamente positivos y negativos,

3
: ea 6 12 24 nm 5
y si la progresión asume esta forma: + +, etc., la suma será —— ===
20229 125 0023 La a 7
c 5
467. Otro ejemplo. Propóngase la progresión infinita
S S 5 5 + Sl +, etc. Aquí el primer término es = y el exponente es

10 100 1000 10000 100000

1 e 9 e . JA
—. Sustrayendo este último de 1 queda 10” y si dividimos el primer término entre esta
fracción tenemos — para la suma de la progresión dada. Así que al tomar sólo un término

E 3 o! es
de la progresión, a saber, 10” el error será 10" Tomando dos términos,

Dd 33

d | 1
+ = , todavía faltará —— para hacer que la suma sea =-—.
10 100 100 3

153

468. Otro ejemplo más. Sea la progresión infinita 9 + > + E + E + z , etc
10 100 1000 10000

; a l A 9
El primer término es 9 y el exponente es 10” así que 1 menos el exponente es = 10” y

9 Ñ . e , ]
=10 es la suma requerida. Esta serie se expresa con una fracción decimal, así,

EJ
10
9,9990009, etcétera.

CAPÍTULO XI
DE FRACCIONES DECIMALES INFINITAS

469. Es necesario mostrar cómo una fracción vulgar puede transformarse en una
fracción decimal y, a la inversa, cómo podemos expresar el valor de una fracción decimal

con una fracción vulgar.
y : , q dez :
470. Requiérase, en general, cambiar la fracción ” en una fracción decimal; como

esta fracción expresa el cociente de la división del numerador a entre el denominador b,
escribamos, en lugar de a, la cantidad a.0000000, cuyo valor no difiere en absoluto del de
a, ya que no contiene décimas partes, ni centésimas partes, etc. Ahora dividamos esta
cantidad entre el número b de acuerdo con las reglas de división comunes, observando
poner el punto que separa el decimal y los enteros en el lugar apropiado. Ésta es toda la

operación, que ilustraremos con algunos ejemplos.
Si está dada la fracción od la división en decimales asumirá la forma

2)1.0000000 _ 1
0.5000000 2

. Por lo tanto parece que ; es igual a 0.5000000 o a 0.5, lo que es

suficientemente evidente ya que esta fracción decimal representa 10 que es equivalente a

1

2 .
3)1.000000 1

471. Ahora sea E la fracción dada, y tenemos ==, etc.=>.
3 0.333333 3

154

be : 1 ,
Esto muestra que la fracción decimal cuyo valor es == no puede ser, estrictamente

hablando, descontinuada, y que sigue ad infinitum repitiendo siempre el número 3. Y es por

E , E, 3 3
esta razón, como ya se ha demostrado, que las fracciones ——+ + + etc., ad

10 100 1000 1000”

A Eos ; 1
infinitum, añadidas juntas, hacen —.

La fracción decimal que expresa el valor de 3 también continúa ad infinitum,

3)2.000000 2
porque tenemos ———————— ,etc.=-—

0.6666666” 3'

Y además esto es evidente por lo que justo hemos dicho, porque ; es el doble de E

472. Si : es la fracción propuesta, tenemos On, etc.=-—. Así que : es

0.2500000 4

igual a 0.2500000 o a 0.25, y esto es evidente porque S + E = a = E ;
10 100 100 4

Del mismo modo, para la fracción - tendremos ón = , Así que

0.7500000 4'

00 y entlció dl + z = a 5-3
4 10 100 100 4

4)5.0000000 _ 5

1.2500000 4'

O, y eS ;
La fracción 4 es cambiada a una fracción decimal al hacer que

Ahora, AN
100 4

473. De igual forma, E es igual a 022 de 067 2082 nO =1.2, etc.
5 3 5 3 E 5

Cuando el denominador es 6, encontramos que ¿—0.1666666, etc., que es igual a

0.666666 — 0.5. Ahora, 0.666666 = ; y 0.5 = > , por lo tanto 0.1666666 =

wi|nw

N|R
D|_

155

También encontramos que - =0.333333, elo =>; pero se vuelve

El
6
1 E O DO
0.5000000 =-— . Además, — =0.833333 = 0.333333+ 0.5, es decir, 24+2=-—.
Z 6 2 2 6
474, Cuando el denominador es 7 las fracciones decimales se vuelven más
complicadas. Por ejemplo, encontramos que _=0.142857; sin embargo, debemos
observar que estas seis figuras se repiten continuamente. Para convencernos, pues, de que

E ; 1
esta fracción decimal expresa de manera precisa el valor de 7 podemos transformarla en

142857

una progresión geométrica cuyo primer término es 1000000 y el exponente = 1000000 *
142857
consecuentemente (Art. 464) la suma será = ¿000000 (multiplicando ambos términos
"1000000
por 1000000) = o = -

475. Podemos probar, de una forma todavía más fácil, que la fracción decimal que
1 Die
hemos encontrado es exactamente = y ; porque, al sustituir por su valor la letra s, tenemos

s =0.142857142857142857, etc.

10s =1.42857142857142857, etc.

100s =14.2857142857142857, etc.
1000s = 142.857142857142857, etc.
10000s =1428.57142857142857, etc.
1000005 =14285.7142857142857, etc.
10000005 =142857.142857142857, etc.

Sustrayendo s=0.142857142857, etc.
999999s =142857.

142857 1 27
=-, y por tanto la fracción

Y dividiendo entre 999999 tenemos s= =
9999909 7

decimal que fue hecha =s es = -

156

y 2 de . a
476. Del mismo modo puede transformarse E en una fracción decimal que será

0.28571428, etc., y esto nos permite encontrar de manera más fácil el valor de la fracción
decimal que hemos supuesto =s, porque 0.28571428, etc., debe ser su doble, y
consecuentemente =2s. Ya que hemos visto que 100s =14.2857142857,etc., al sustraer

2s =0.28571428571,etc., queda 98s =14, y por tanto s = S e - A

También encontramos que > =0.42857142857, etc., debe ser, de acuerdo con
nuestra suposición, =3s. Ahora, hemos encontrado que 10s =1.42857142857, etc., así que
al sustraer 3s =0.42857142857, etc., tenemos 7s=1, y por tanto s = - :

477. Por consiguiente, cuando una fracción propuesta tiene 7 como denominador, la
fracción es infinita y se repiten continuamente 6 figuras. La razón, como es fácil de
percibir, es que cuando continuamos la división debemos regresar, tarde o temprano, a un
resto que ya teníamos antes. Ahora, en esta división, sólo pueden formar el resto 6 números
distintos, a saber, 1, 2, 3, 4, 5, 6, así que, después de la sexta división, a lo mucho, deben
regresar las seis figuras. Pero cuando el denominador es tal que conduce a una división sin
resto, estos casos no ocurren.

478. Ahora supongamos que 8 es el denominador de la fracción propuesta; entonces
encontraremos las siguientes fracciones decimales:
pa 0.125,2 e 0.25;> a 0375,2 = 052 = 0.6252 E 0.75; = 0.875, etc.

8 8 8 8 8 8 8

Si el denominador es 9, tenemos ; =0.11 Leto. = 0.222, eto, = 0.333, etc. Si el

denominador es 10, tenemos - =0. = 02 = 0.3. Esto es evidente por la naturaleza

de la cosa, como también lo es que cl =0.01, que US =0.37, que as =0.256, que
100 100 1000

pa = 0.0024, etc.

10000

157

479. Si 11 es el denominador de la fracción dada, tendremos que == 0.0909000 ,

etc. Ahora supongamos que se requiriese encontrar el valor de esta fracción decimal.
Llamémosla s, y de esta forma s=0.0909090 y 10s=00.909090 y 100s =9.09090.
Entonces, si sustraemos de lo último el valor de s tendremos 99s =9, y consecuentemente

9_ 1
$===—.,
9 11

- =0. 181818,etc., = 0272727010, = 0.545454, etc.

También tenemos que

480. Hay, pues, un gran número de fracciones decimales en donde una, dos, o más
figuras se repiten constantemente, y de esta forma continúan hasta el infinito. Tales
fracciones son curiosas, y mostraremos cómo pueden encontrarse sus valores fácilmente.

Primero supongamos que una sola figura es la que se repite constantemente, y
representémosla por a de tal forma que s=0.aaaqaaa. Tenemos que 10s = a.aaaqdaVa.a , y
sustrayendo s =0.aaqUaVd tenemos que 9s = a; por lo tanto s a ;

Cuando se repiten dos figuras, como ab, tenemos que s=0.ababab . Por lo tanto

100s = ab.ababab , y si sustraemos s de esto, queda 99s = ab, y consecuentemente s= eS

Cuando se repiten tres figuras, como abc, tenemos que s=0.abcabcabc;

consecuentemente 1000s = abc.abcabc, y sustrayendo s de esto queda 999s = abc, de
. abc z :
donde se sigue que s= 007 y así sucesivamente.

Así entonces, siempre que ocurra una fracción de este tipo es fácil encontrar su

valor. Esté dado, por ejemplo, 0.296296; su valor será 07 dividiendo ambos

términos entre 27.

Esta fracción debe darnos, de nuevo, la fracción decimal propuesta, y fácilmente
podemos convencernos de que éste es el resultado real si dividimos 8 entre 9 y después tal
cociente entre 3, porque 27 =3x09. Así, tenemos

9)8.0000000
3)0.8888888

158

0.2962962, etc.,
que es la fracción decimal propuesta.
481. Ofreceremos un curioso ejemplo de esto transformando la fracción

1
1x2x3x4x5x6x7x8x9x10

en una fracción decimal. La operación es como sigue:

2)1.00000000000000
3)0.50000000000000
4)0.16666666666666
5)0.04166666666666
6)0.00833333333333
7)0.00138888888888
8)0.00019841269841
9)0.00002480158730
10)0.00000275573192
0.00000027557319.

159

SECCIÓN IV
DE ECUACIONES ALGEBRAICAS Y DE SU RESOLUCIÓN

CAPÍTULO I
DE LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN GENERAL

482. El objetivo principal del álgebra, así como de todas las partes de las
matemáticas, es determinar el valor de cantidades antes desconocidas. Esto se consigue
considerando atentamente las condiciones dadas, que siempre se expresan con números
conocidos. Es por esta razón que al álgebra se le ha definido como la ciencia que enseña
cómo determinar cantidades desconocidas por medio de cantidades conocidas.

483. La definición recién ofrecida concuerda con todo lo que hemos establecido
hasta ahora. Siempre hemos visto que el conocimiento de ciertas cantidades conduce al de
otras cantidades que antes podrían haberse considerado como desconocidas. De esto la
adición fácilmente proporcionará un ejemplo. Para encontrar la suma de dos o más números
dados, tuvimos que buscar un número desconocido que fuese igual a tales números
conocidos tomados juntos. En la sustracción, buscamos un número que fuese igual a la
diferencia de dos números conocidos. La multiplicación, la división, la involución de
potencias, y la extracción de raíces presentan una multitud de otros ejemplos. La cuestión,
pues, siempre se reduce a encontrar, por medio de cantidades conocidas, otra cantidad hasta
entonces desconocida.

484. En la última sección también resolvimos distintas cuestiones en las que se
requería determinar un número que no podía deducirse del conocimiento de otros números
dados excepto bajo ciertas condiciones. Todas aquellas cuestiones se redujeron a encontrar,
con la ayuda de algunos números dados, un nuevo número que tuviese una cierta conexión
con ellos, y esta conexión estuvo determinada por ciertas condiciones o propiedades que
concordaban con la cantidad buscada.

485. Cuando se nos presenta una cuestión a resolver, representamos el número
buscado con una de las últimas letras del alfabeto, y después consideramos de qué manera
las condiciones dadas pueden formar una igualdad entre dos cantidades. Esta igualdad,

representada por una especie de fórmula llamada ecuación, nos permite determinar por fin

160

el valor del número buscado, y consecuentemente resolver la cuestión. A veces sucede que
uno busca varios números, pero éstos se encuentran de la misma manera, i. e., por medio de
ecuaciones.

486. Tratemos de explicar más a fondo esto con un ejemplo. Supongamos la
siguiente cuestión o problema. Veinte personas, hombres y mujeres, cenan en una taberna.
La cuota de la cuenta para un hombre es 8 sous, para una mujer 7 sous, y la cuenta total
asciende a 7 libras 5 sous. A partir de esto, se requiere encontrar el número de hombres y el
de mujeres.

Para resolver esta cuestión, supongamos que el número de hombres es = x, y ahora,
considerando este número como conocido, procederemos de la misma manera que como si
quisiésemos probar si corresponde con las condiciones de la cuestión. Ahora, siendo el
número de hombres = x, y los hombres y mujeres haciendo juntos veinte personas, es fácil
determinar el número de mujeres, teniendo sólo que sustraer el [número] de los hombres de
20, esto es, el número de mujeres es = 20— x. Pero cada hombre gasta 8 sous; por tanto, x
hombres gastan 8x sous. Y como cada mujer gasta 7 sous, 20— x mujeres deben gastar
140—7x sous.

Así que añadiendo 8x y 140—7x, vemos que las 20 personas deben gastar 140+ x
sous. Ahora bien, ya sabemos cuánto han gastado, a saber, 7 libras 5 sous o 145 sous; por lo
tanto debe haber una igualdad entre 140+x y 145, es decir, tenemos la ecuación
140+x=145, y entonces fácilmente deducimos que x=5. Así pues, el grupo consistía en
5 hombres y 15 mujeres.

487. Otra cuestión del mismo tipo. Veinte personas, hombres y mujeres, van a una
taberna. Los hombres gastan 24 florines y las mujeres lo mismo, pero se descubre que cada
hombre ha gastado 1 florín más que cada mujer. Se requiere el número de hombres y el de
mujeres.

Sea el número de hombres =x. El de las mujeres será =20-—x. Ahora, estos x

hombres habiendo gastado 24 florines, la cuota de cada hombre es 2 florines. Además,
Xx

las 20— x mujeres habiendo también gastado 24 florines, la cuota de cada mujer es
=x

florines.

161

Pero sabemos que la cuota de cada mujer es un florín menos que la de cada

hombre; si, por tanto, sustraemos 1 de la cuota de un hombre, debemos obtener la de una

a 24 24
mujer, y consecuentemente E
Xx 20-x

. Esta, entonces, es la ecuación de la que

habremos de deducir el valor de x. Este valor no se encuentra con la misma facilidad que en

la cuestión anterior, pero pronto vemos que x=8, y que éste valor corresponde con la

ecuación, porque Ñ -1= > incluye la igualdad 2=2.

488. Es evidente qué esencial es, en todos los problemas, considerar atentamente las
circunstancias de la cuestión para deducir de ella una ecuación que exprese, con letras, los
números buscados o desconocidos. Después de eso, todo el arte consiste en resolver tales
ecuaciones o en derivar de ellas los valores de los números desconocidos, y éste será el
tema de la presente sección.

489. En primer lugar debemos observar la diversidad subsistente entre las propias
cuestiones. En algunas buscamos solamente una cantidad desconocida, mientras que en
otras tenemos que encontrar dos o más, y debemos notar, con respecto a este último caso,
que para determinarlas todas debemos deducir de las circunstancias, o de las condiciones
del problema, tantas ecuaciones como haya cantidades desconocidas.

490. Ya se habrá percibido que una ecuación consiste en dos partes separadas por el
signo de igualdad, =, para mostrar que tales dos cantidades son iguales entre sí. A veces nos
vemos obligados a realizar un gran número de transformaciones sobre tales dos partes para
así deducir de ellas el valor de la cantidad desconocida, pero todas estas transformaciones
deben estar fundadas sobre los siguientes principios: que dos cantidades siguen siendo
iguales si añadimos a ellas, o sustraemos de ellas, cantidades iguales, si las multiplicamos
o dividimos por el mismo número, si ambas las elevamos a la misma potencia, o si
extraemos sus raíces del mismo grado.

491. Las ecuaciones que se resuelven más fácilmente son aquellas en donde la
cantidad desconocida no sobrepasa la primera potencia después de haber arreglado
propiamente los términos de la ecuación, y a tales ecuaciones las llamamos ecuaciones
simples o ecuaciones de primer grado. Pero si, después de haber reducido y ordenado una

ecuación, encontramos en ella el cuadrado o la segunda potencia de la cantidad

162

desconocida, podemos llamarla una ecuación de segundo grado, que es más difícil de

resolver.

CAPÍTULO II
DE LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES SIMPLES O DE PRIMER GRADO

492. Cuando el número buscado, o la cantidad desconocida, está representado por la
letra x, y la ecuación que hemos obtenido es tal que un lado contiene únicamente tal x y el
otro simplemente un número conocido, como por ejemplo x=25, el valor de x ya está
encontrado. Siempre debemos tratar, pues, de llegar a tal forma no obstante qué tan
complicada pueda ser la ecuación en un primer momento. En el curso de esta sección
ofreceremos las reglas que sirven para facilitar estas reducciones.

493. Comencemos con los casos más simples, y supongamos, primero, que hemos
llegado a la ecuación x+9=16; inmediatamente vemos que x=7. Y, en general, si hemos
encontrado que x+a=b, donde a y b expresan cualesquiera números conocidos, sólo
tenemos que sustraer a de ambos lados para obtener la ecuación x=b_—a, lo que indica el
valor de x.

494. Si la ecuación que hemos encontrado es x—a=b, añadimos a en ambos lados
y Obtenemos el valor de x=b+a. Procedemos de la misma manera si la ecuación tiene la
forma x—a=aa+l, porque inmediatamente tendremos que x=aa+a+1. En la ecuación
x-8a=20-—6a encontramos que x=20-—6a+8a o x=20+2a. Y en x+6a=20+3a
tenemos que x=20+3a-=6a o x=20-3a.

495. Si la ecuación original tiene la forma x-a+b=c, podemos comenzar por
añadir a en ambos lados, lo que nos da x+b=c+a, y después sustraer b de ambos lados,
lo que nos da x=c+a-—b. Pero también podemos añadir +a-—b de una sola vez en
ambos lados, y con esto inmediatamente obtenemos x=c+a-=b.

Así en los siguientes ejemplos,

Si x-2a+3b=0, tenemos x=2a-—3b.

Si x-3a+2b=25+a+2b, tenemos x=25+4a4.

Si x-9+6a=25+2a, tenemos x=34-4a.

163

496. Cuando la ecuación que hemos encontrado tiene la forma ax=b, únicamente

dividimos los dos lados entre a y tenemos x=-—. Pero si la ecuación tiene la forma
a

ax+b=c=d, primero debemos hacer desaparecer los términos que acompañan a ax
añadiendo —b+c a ambos lados [de la ecuación] y después dividir la nueva ecuación
d=b+c

a

ax=d=—b+c entre a, lo que nos da x =

Habríamos encontrado el mismo valor si hubiésemos sustraído +b-=c de la
y . E p d=b+c
ecuación dada, esto es, de la misma forma habríamos tenido ax=d—b+c y x=.

Por lo tanto,
Si 2x+5=17, tenemos 2x=12 y consecuentemente x=6.
Si 3x-8=7, tenemos 3x=15 y consecuentemente x=5.

Si 4x-5-3a=15+9a, tenemos 4x=20+12a y consecuentemente x=535+3a.

o cdas Xx ai
497. Cuando la primera ecuación tiene la forma — =b, multiplicamos ambos lados
a

x
por a para tener x=ab. Pero si tenemos =+b=c=d , primero debemos hacer que
a

E =d-—b+c, después de lo cual tenemos x =(d —b+c)ja = ad — ab+ac. Sea ida
a

entonces 34=7 y x=14. Sea ¿1420 =3+a; entonces ¿A=4ma y x=12-34.

Xx Xx
Sea ——-—1=a;entonces ——=a+l y x=a0-1.
a= a—1

y ax : Ln
498. Cuando hemos llegado a una ecuación como En =C, primero multiplicamos

a o be 4.
por b para tener ax=bc y después, al dividir entre a, encontramos que x=-=—. Si
a

ax do ax p
+ =Cc=d , comenzamos por darle a la ecuación la forma a =d +c, después de lo cual

obtenemos el valor de ax=bd+bc y de x= pareten Supongamos que ¿A4=L;
a

164

entonces tendremos a y 2x=15; por lo tanto paa O ns Si o
3 2 2 4 2

entonces O O 3x=18 y x=6.
4 2 2

499. Ahora consideremos el caso, que puede ocurrir con mucha frecuencia, en el
que dos o más términos contienen la letra x, ya sea en un lado de la ecuación o en ambos

lados.

Si tales términos están todos en el mismo lado, como en la ecuación x+ e +5=11
1 e 1 1 us
, tenemos E =6 0 3x=12, y por último x=4.Sea x+ A al =44 y requiérase el

valor de x. Si primero multiplicamos por 3 tendremos 4r+31=132, y si después

multiplicamos por 2 tendremos 11x=264, y por tanto x=24. Podríamos haber procedido

de una manera más corta si hubiésemos comenzado reduciendo los tres términos que

contienen x al único término o y después dividiendo la ecuación o =44 entre 11, y
así habríamos tenido Ss =4 y por tanto x=24.

Sea Le — ci + La =1. Entonces tendremos, por reducción, En =l y x= 2? . Más
3 4 2 12 5
en general, sea ax—bx+cx=d; esto es lo mismo que (a—b+c)x=d, de donde

derivamos que x = ————.
a=b+c

500. Cuando hay términos que contienen x en ambos lados de la ecuación,
comenzamos por hacer que tales términos desaparezcan del lado del que es más fácil
hacerlo, esto es, en donde hay menos de ellos. Si tenemos, por ejemplo, la ecuación
3x+2=x+10, primero debemos sustraer x de ambos lados, lo que nos da 2x+2=10, y
por tanto 2x=8 y x=4.

Sea x+4=20-—x; aquí es evidente que 2x+4=20 y que consecuentemente
2x=16 y x=8.

Sea x+8=32-—3x; entonces tendremos 4x+8=32 y después 4x=24 y x=6.

Sea 15-— x=20-2x; entonces tendremos 15+x=20 y x=5.

165

Sea l+x=5- 7% entonces tendremos 1+ > =5, después de lo cual 3 =4,

3x=8, y por último 2%.

S1 A x= pa x , debemos añadir La lo que nos da ES = E + o sustrayendo
23 3 4 3 Ze da 12
1 1 1 Cae
3 queda 2 x= 6 y multiplicando por 12 obtenemos x=2.
Si P e s + dd añadimos % y nos da psa Sustrayendo E
2-2 4 2 3 2.4 6 4
1

tenemos Ex = ra de donde deducimos que x= a = = al multiplicar por 6 y dividir

entre 7.
501. Si tenemos una ecuación en la que el número desconocido x es un

denominador, debemos hacer desaparecer la fracción al multiplicar toda la ecuación por tal

denominador. Supongamos haber encontrado que 0 =12. Primero añadimos 8 [en
%

ambos lados] y tenemos 20 = 20; después, al multiplicar por x, tenemos 100=20x, y
Xx

dividiendo entre 20 encontramos que x=5.

5x+3

x—1

Sea

=7. Si multiplicamos por x—1 tenemos 5x+3="7x-—7; sustrayendo

5x queda 3=2x-—”7; añadiendo 7 tenemos 2x=10, y por tanto x=35.

502. A veces también encontramos signos radicales en las ecuaciones de primer
grado. Por ejemplo, se requiere un número x, por debajo de 100, tal que la raíz cuadrada de
100—x sea igual a 8, o (100—x) =8. El cuadrado de ambos lados será 100— x =64, y
añadiendo x tenemos 100=64+x, de donde obtenemos x=100-64=36. O, ya que
100—x=64, pudimos haber sustraído 100 de ambos lados y entonces habríamos tenido

=x=-36, y multiplicando por —1,x=36.

166

CAPÍTULO IN
DE LA SOLUCIÓN DE CUESTIONES RELACIONADAS
CON EL CAPÍTULO ANTERIOR

503. Cuestión I. Dividir 7 en dos partes tales que la mayor exceda a la menor por 3.
Sea la parte mayor = x; entonces la menor será =7—x, así que x=7-—x+3 0 x=10-x.
Añadiendo x tenemos 2x =10, y dividiendo entre 2 el resultado es x=5.

Respuesta. La parte mayor es 5 y la menor es 2.

Cuestión II. Se requiere dividir a en dos partes tales que la mayor exceda a la menor
por b. Sea la parte mayor = x; entonces la otra será a—x, así que x=a-=—x+b. Añadiendo

a+b

x tenemos 2x=a+b, y dividiendo entre 2, x= a

Otra solución. Sea la parte mayor =x, que como excede a la menor por b, es
evidente que la menor es más pequeña que la otra por b, y por tanto debe ser =x-—b.

Ahora, estas dos partes tomadas juntas deben dar a, así que 2x—b=a, y añadiendo b
tenemos 2x=a+b, y por tanto x= 29 que es el valor de la parte mayor; el de la parte

, a+b a+b ?2b a-b
menor será bo O ;
2 2 2 2

504. Cuestión HI. Un padre de tres hijos les hereda 1600 coronas. El testamento
especifica que el mayor debe recibir 200 coronas más que el segundo y que el segundo debe
recibir 100 coronas más que el menor, y se requiere lo que recibe cada hijo. Sea la parte del
tercer hijo =x; entonces la del segundo será =x+100 y la del mayor =x+300. Ahora,
estas tres partes juntas dan 1600 coronas, y entonces tenemos que
3x +400=1600,3x =1200, y x=400.

Respuesta. La parte del menor son 400 coronas, la del segundo 500, y la del mayor
700.

505. Cuestión IV. Un padre deja cuatro hijos y 8600 libras. De acuerdo con el
testamento, la parte del mayor ha de ser el doble que la parte del segundo menos 100 libras;
el segundo hijo ha de recibir tres veces tanto como el tercero menos 200 libras, y el tercero
ha de recibir cuatro veces tanto como el cuarto menos 300 libras, y se requieren las
respectivas porciones de los cuatro hijos.

167

Llamemos x a la porción del menor; entonces la del tercer hijo será =4x-—300, la
del segundo =12x-—1100, y la del mayor =24x-—2300. La suma de estas cuatro partes
debe dar 8600 libras. Tenemos, por tanto, la ecuación 41x-—3700 =8600,0 41x=12300, y
x=300.

Respuesta. El menor debe tener 300 libras, el tercero hijo 900, el segundo 2500, y el
mayor 4900.

506. Cuestión V. Un hombre deja 11000 coronas a ser divididas entre su viuda, sus
dos hijos, y sus tres hijas. Pretende que la madre reciba el doble de lo de un hijo, y que cada
hijo reciba el doble de lo de una hija, y se requiere cuánto ha de recibir cada quien.

Supongamos que la parte de una hija es =x; consecuentemente la de un hijo es
=2x y la de la viuda =4x. Toda la herencia es, pues, 3x+4x+4x, así que 11x=11000 y
x=1000.

Respuesta. Cada hija recibe 1000 coronas, así que las tres reciben 3000 en total;
cada hijo recibe 2000 coronas, así que los dos hijos reciben 4000 en total, y la madre recibe
4000 coronas. La suma da 1100 coronas.

507. Cuestión VI. En su testamento, un padre pretende que sus tres hijos compartan
su propiedad de la siguiente manera: el mayor ha de recibir 1000 coronas menos que la
mitad de toda la fortuna; el segundo ha de recibir 800 coronas menos que la tercera parte de
toda la propiedad, y el tercero ha de tener 600 coronas menos que la cuarta parte de la

propiedad, y requerimos la suma de toda la fortuna y la parte de cada hijo.

Expresemos la fortuna con x. La parte del primer hijo es 3 1000; la del segundo

es ¿4—800, y la del tercero es ¿2—600, así que los tres hijos reciben en total

y x+ , x+ : x— 2400, y esta suma debe ser igual a x.
E E 1
Tenemos, pues, la ecuación 2 - 2400 = x . Sustrayendo x queda a -2400=0,

y añadiendo 2400 tenemos A = 2400. Por último, multiplicando por 12 el producto es: x

igual a 28800.

168

Respuesta. La fortuna consiste en 28800 coronas, y el mayor de los hijos recibe
13400, el segundo 8800, y el menor 6600.

508. Cuestión VII. Un padre deja cuatro hijos que reparten su propiedad de la
siguiente manera: el primero toma la mitad de la fortuna menos 3000 libras; el segundo
toma la tercera parte menos 1000 libras; el tercero toma exactamente la cuarta parte de la
propiedad, y el cuarto toma 600 libras y la quinta parte de la propiedad. ¿Cuánto fue toda la

fortuna y cuánto recibió cada hijo?

Sea toda la fortuna = x; entonces el mayor de los hijos tendrá A 300, el segundo

41000, el tercero q% y el menor 1600. En total, los cuatro habrán recibido

ARA 3400, que debe ser igual a x. De aquí resulta la ecuación

de x-3400=x; sustrayendo x tenemos 5 —3400=0; añadiendo 3400 tenemos

a = 3400; dividiendo entre 17 tenemos 5 = 200, y multiplicando por 60 tenemos que

x=12000.

Respuesta. La fortuna consiste en 12000 libras, y cada uno de los hijos recibió 3000
libras [3000 x 4 =12000].

509. Cuestión VII. Encontrar un número tal que si le añadimos su mitad, la suma

excede 60 por tanto como el propio número es menor que 65. Sea el número = x; entonces

x+ 1 60=65=x, esto es, ¿60 65—x. Añadiendo x tenemos 7160265;

añadiendo 60 tenemos E =125; dividiendo entre 3 tenemos 3 = 25, y multiplicando por

2 tenemos que x=50.

Respuesta. El número buscado es 50.

510. Cuestión IX. Dividir 32 en dos partes tales que, si la menor es dividida entre 6
y la mayor entre 5, los dos cocientes tomados juntos puedan dar 6.

Sea la menor de las dos partes buscadas = x; entonces la mayor será =32—x. La

AE . Ahora,

primera parte dividida entre 6 da E y la segunda dividida entre 5 da

169

x 32-x
==: >

=6, así que al multiplicar por 5 tenemos =x +32-x=30 o — x +32=30.

Añadiendo E tenemos 32 =30+ a ; sustrayendo 30 queda 2 = =%, y multiplicando por

6 tenemos que x=12.

Respuesta. Las dos partes son: la menor =12, la mayor =20.

511. Cuestión X. Encontrar un número que, si es multiplicado por 5, el producto sea
como mucho menor que 40 como el propio número es menor que 12. Llamemos x a este
número. Es menor que 12 por 12— x. Tomando el número x cinco veces tenemos 3x, que
es menos que 40 por 40—5x, y esta cantidad debe ser igual a 12— x. Tenemos, pues, que
40-5x=12-—x; añadiendo 5x tenemos 40=12+4x; sustrayendo 12 tenemos 28=4x, y
dividiendo entre 4 tenemos que x=7, el número buscado.

512. Cuestión XI. Dividir 25 entre dos partes tales que la mayor contenga a la menor
49 veces. Sea la parte menor =x; entonces la mayor será =25—x. Así pues, la última
[parte] dividida entre la primera debe de darnos el cociente 49; tenemos por tanto que
2 Xx

x

=49. Multiplicando por x tenemos 25-—x=49x, añadiendo x, 25=50x, y

dividiendo entre 50 tenemos que x = y ;

1 1
Respuesta. El menor de los dos números buscados es o y el mayor es a

dividiendo el último entre el primero, o multiplicándolo por 2, obtenemos 49.

513. Cuestión XII. Dividir 48 entre nueve partes de tal forma que cada parte sea

, 1 :
siempre > mayor que la parte que le precede. Sea la parte menor o primera = x; entonces

, 1 :
la segunda será dia la tercera =x+1, etc. Ahora bien, estas partes forman una

progresión aritmética cuyo primer término es = x, y por tanto el noveno y último [término]
será =x+4. Añadiendo estos dos términos tenemos 2x+4; multiplicando esta cantidad
por el número de términos, o por 9, tenemos 18x +36, y dividiendo este producto entre 2

obtenemos la suma de todas las nueve partes, a saber, 9x+18, que debe ser igual a 48.

170

Tenemos, pues, que 9x+18=40; sustrayendo 18 nos queda 9x =30, y dividiendo entre 9

1
tenemos que x= 35 s

ñ 1 a
Respuesta. La primera parte es dE y las nueve partes se suceden en el siguiente

orden: 3l a a O o dt dan 48.
30706. 3 06 376 03,06 03

514. Cuestión XIII. Encontrar una progresión aritmética cuyo primer término sea
=5,.el último =10, y la suma =60. Para este caso no conocemos ni la diferencia ni el
número de términos, pero sabemos que el primero y el último término nos permiten
expresar la suma de la progresión siempre que esté dado el número de términos. Siendo así
las cosas, supondremos que este número es =x y expresaremos la suma de la progresión

por =. Ahora, sí sabemos que esta suma es 60, así que pS =60, 3 =4, y x=8. Ya

que el número de términos es 8, si suponemos que la diferencia es =z sólo tenemos que

buscar el octavo término dada esta suposición y hacerlo =10. El segundo término es 5+z,

el tercero es 5+2z, y el octavo es 5+7z, así que 5472 =10, 7z=5, y ¿=>

Respuesta. La diferencia [entre los términos] de la progresión es E y el número de

términos es 8; consecuentemente la progresión es: 5+ 52 + 6 ed - +7 : + ss + o +10,

cuya suma es =60.

515. Cuestión XIV. Encontrar un número tal que, si 1 es sustraído de su doble y el
resto es duplicado, entonces, si 2 es sustraído y el resto es dividido entre 4, el número que
resulta de estas operaciones será 1 menos que el número buscado.

Supongamos que este número es = x. Su doble es 2x; sustrayendo 1 queda 2x-—1;
duplicando esto tenemos 4x-—2; sustrayendo 2 nos queda 4x-—4, y dividiendo entre 4
tenemos x—1, y esto debe ser menos que x, así que x-1=x-—1. Pero esto es lo que se
llama una ecuación idéntica, y muestra que x es indeterminado, o que cualquier número

puede ser sustituido por x.

171

516. Cuestión XV. Compré algunas varas de paño a razón de 7 coronas por 5 varas,
que vendí de nuevo a razón de 11 coronas por 7 varas y gané 100 coronas por tal operación.
¿Cuánto paño había?

Supongamos que había x varas de paño; primero debemos ver cuánto costó el paño,

y esto lo hacemos por la siguiente proporción: si cinco varas cuestan 7 coronas, ¿cuánto
7 a
cuestan x varas? Respuesta: pe coronas. Esto fue lo que desembolsé, y veamos ahora
cuánto recibí por la siguiente proporción: como 7 varas son a 11 coronas, así también x
11 5 ;
varas son a a coronas. Esto que recibí debe exceder al gasto por 100 coronas, así que

tenemos la ecuación Ax 100. Sustrayendo os queda <1=100, y por tanto

6x=3500 y x =583-.
; l he ,
Respuesta. Había 973 varas que fueron compradas por E coronas y vendidas

de nuevo por 9163 coronas, y de esta forma la ganancia fue de 100 coronas.

517. Cuestión XVI. Una persona compra 12 piezas de ropa por 140 coronas. Dos son
blancas, tres son negras, y siete son azules. Una pieza de ropa negra cuesta dos coronas más
que una pieza blanca, y una pieza azul cuesta tres coronas más que una pieza negra, y
requerimos saber el precio de cada tipo. Cueste x coronas una pieza blanca; entonces las
dos piezas de este tipo costarán 2x. Además, una pieza negra costando x+2, las tres
piezas de este color costarán 3x +6. Por último, una pieza azul cuesta x+5, y de aquí que
las siete piezas azules cuesten 7x +35. Así pues, las doce piezas cuestan en total 12x +41.

Ahora, el precio real y conocido de estas doce piezas es 140 coronas, así que

12x+41=140, y 12x=99, y por tanto x= 5, , de tal forma que una pieza de ropa blanca

cuesta s, coronas, una de ropa negra 10, coronas, y una de ropa azul 137 coronas.

518. Cuestión XVII. Un hombre, habiendo comprado algunas nueces moscada, dice
que tres nueces cuestan como mucho más que un sous como cuatro cuestan más que diez

liards, y requerimos el precio de tales nueces.

172

Llamaremos x al exceso del precio de tres nueces sobre un sous o cuatro liards, y
diremos que, si tres nueces cuestan x+4 liards, entonces cuatro costarán, dada la
condición de la cuestión, x+10 liards. Ahora bien, el precio de tres nueces nos da el de
cuatro nueces de otra manera, a saber, por la regla de tres. Así, hacemos que

4x+16
3:x+4::4: ——,

Siendo así esto, E +10, o 4x+16=3x+30, y por tanto x+16=30 y

x=14. Respuesta. Tres nueces cuestan 18 liards y cuatro cuestan 6 sous; por tanto cada
una cuesta 6 liards.

519. Cuestión XVIII. Una persona tiene dos copas de plata y sólo una cubierta para
las dos. La primera copa pesa 12 onzas, y si se le pone la cubierta, pesa el doble que la otra
copa; pero si es la otra copa la que es cubierta, pesa tres veces más que la primera. Se
requiere el peso de la segunda copa y el de la cubierta.

Supongamos que el peso de la cubierta es =x onzas; si la primera copa está

cubierta pesará x+12 onzas. Ahora, este peso siendo el doble que el de la segunda copa,
1 ' e

esta copa debe pesar 2 +6. Si es cubierta, entonces pesará 3 +6, y este peso debe ser el

triple de 12, esto es, tres veces el peso de la primera copa. Tendremos entonces la ecuación

3 3 il

a O ia y por tanto A y x=20.

Respuesta. La cubierta pesa 20 onzas y la segunda copa 16.

520. Cuestión XIX. Un banquero tiene dos tipos de cambio; debe haber a piezas del
primero para dar un corona, y b piezas del segundo para dar la misma suma. Una persona
quiere tener c piezas para una corona, y requerimos saber cuántas piezas de cada tipo debe
darle el banquero.

Supongamos que el banquero da x piezas del primer tipo; entonces es evidente que

a z y : Xx
dará c—x piezas del otro tipo. Ahora, las x piezas del primer tipo valen — corona por la
a

iS Xx ; E C=X
proporción a:l=x:=, y c—x piezas del segundo tipo valen ——— corona por la
a a

173

—=X c=X

bx
=1l, 0 —+c-x=b, 0 bx+ac—ax=ab,
a

Lo Cc E %
proporción b:1=c=x: . Así que =+
a

a ab — ac alb=c
o mejor bx-ax=ab=ac, de donde tenemos que x=-=_———, 0 ¿DO

b-a ” b=a
Consecuentemente c— x= A
b=a b=a
Respuesta. El banquero dará 2 piezas del primer tipo y a piezas del
=a =a

segundo tipo.
Observación. Estos dos números pueden encontrarse fácilmente por la regla de tres

cuando requerimos aplicar los resultados que hemos obtenido. Para encontrar el primero

alb—c)

decimos que b-a:b=c=a:
b=-a

y para el segundo decimos que

b(c—-a)

-=4a

b=a:c=-a=b . También debemos observar que a es menor que b y que c también

es menor que b pero al mismo tiempo mayor que a, como lo requiere la naturaleza de la
cuestión.

521. Cuestión XX. Un banquero tiene dos tipos de cambio; 10 piezas de uno hacen
una corona y 20 piezas del otro hacen una corona. Una persona desea cambiar una corona
en 17 piezas de dinero; ¿cuántas de cada tipo debe tener?

Aquí tenemos que a=10,b=20,y c=17, lo que nos permite hacer las siguientes
proporciones:

I. 10:3=10:3, así que el número de piezas del primer tipo es 3.

II. 10:7=20:14, así que hay 14 piezas del segundo tipo.

522. Cuestión XXI. A su muerte, un padre deja varios niños que se reparten su
propiedad de la siguiente manera: el primero recibe cien coronas y la décima parte de lo
que queda; el segundo recibe doscientas coronas y la décima parte de lo que queda; el
tercero recibe trescientas coronas y la décima parte de lo que queda; el cuarto recibe
cuatrocientas coronas y la décima parte de lo que queda, y así sucesivamente. Al final se
descubre que la propiedad ha sido dividida de igual forma entre todos los niños, y se

requiere saber en cuánto consistió, cuántos niños hubo, y cuánto recibió cada cual.

174

Esta cuestión tiene una naturaleza más bien singular, y por tanto requiere una
atención particular. Para resolverla más fácilmente, supondremos que toda la fortuna es = z

coronas, y ya que todos los niños reciben la misma suma, sea = x la parte de cada cual, por

y SE Z ,
cuyo medio expresamos el número de niños con —. Habiendo establecido esto, podemos
Xx

pasar a la solución de la cuestión, que será como sigue:

Suma o propiedad a | Orden de los niños | Parte oO porción de | Diferencias
ser dividida cada cual
z Primero 00 z—100
10
Z=X Segundo x=200++7*7200 100 *=100 _ y
10 10
z=2x Tercero x=300 +42: 300 100 *=100 _ y
10 10
z2-3x Cuarto x=400+ 473x400 100-2100 _y
10 10
z-4x Quinto y=500+ 45300 100 *=100 _
10 10
zx Sexto 00 Z= — 600 | Etcétera.

En la última columna hemos insertado las diferencias que obtenemos al sustraer
cada porción [o parte] de la que le sigue. Ahora, siendo iguales todas estas porciones, cada
una de las diferencias debe ser =0. Y como sucede que todas estas diferencias son
expresadas exactamente del mismo modo, será suficiente con hacer que una de ellas sea

igual a nada, y tendremos la ecuación 100— 2100

=0. Multiplicando por 10 tenemos

1000— x-100=0, o 900— x=0, y consecuentemente x=900.
Ahora sabemos, entonces, que la parte de cada niño fue 900 coronas, así que

tomando cualquiera de las ecuaciones de la tercera columna, la primera, por ejemplo, se

z-100
1

vuelve, al sustituir el valor de x, 900=100+ , de donde inmediatamente obtenemos

175

el valor de z, porque 9000 =1000+2z-—100, o 9000=900+z, y por tanto z=8100 y

Zz
consecuentemente 2=09,
Xx

Respuesta. El número de niños es =9, la fortuna dejada por el padre es =8100

coronas, y la parte de cada niño es =900 coronas.

CAPÍTULO IV
DE LA RESOLUCIÓN DE DOS O MÁS ECUACIONES DE PRIMER GRADO

523. A menudo sucede que nos vemos obligados a introducir, en cálculos
algebraicos, dos o más cantidades desconocidas representadas por las letras x, y, z; y si la
cuestión está determinada somos llevados al mismo número de ecuaciones como haya
cantidades desconocidas, de donde entonces se requiere deducir tales cantidades. Como en
este momento sólo consideraremos ecuaciones que no contienen potencias de una cantidad
desconocida más grandes que la primera [potencia], ni tampoco productos de dos o más
cantidades desconocidas, es claro que nuestras ecuaciones tendrán la forma
az+by+cx=d.

524. Comenzando, pues, con dos ecuaciones, nos esforzaremos en encontrar, de
ellas, los valores de x y y. En aras de que podamos considerar este caso de una manera
general, sean las dos ecuaciones I. ax+by=c y Il. fx+ gy =h, en donde a, b,c y f, g, h
son números conocidos. Se requiere por tanto obtener, de estas dos ecuaciones, las dos
cantidades desconocidas x y y.

525. El método más natural de proceder se presentará enseguida en la mente, y es
determinar, de ambas ecuaciones, el valor de una de las cantidades desconocidas, x por
ejemplo, y considerar la igualdad de tales dos valores, porque así tendremos una ecuación
en donde la cantidad desconocida y se encontrará por sí misma, y puede ser determinada
por las reglas que ya hemos establecido. Conociendo y, sólo tenemos que sustituir su valor

en una de las cantidades que expresa x.

176

: e c-b
526. De acuerdo con esta regla, de la primera ecuación obtenemos x= a y de
a

h-= : ' z
la segunda x="-8% Haciendo estos dos valores iguales entre sí, tenemos la nueva

y - = Gl h-=—
ecuación £ 2) = de E ; multiplicando por a el producto es c—by= Et

a :

multiplicando por f el producto es fe— fby=ah—agy. Añadiendo agy tenemos

Y

fe— fby+agy=ah, y sustrayendo fc nos queda -—fby+agy=ah-— fc, 0

ah-— fc
ag bf '

Para ahora sustituir este valor de y en uno de los dos valores de x que hemos

(ag —bf)y =ah— fe . Por último, al dividir entre ag —bf tenemos que y =

a c=by h
encontrado, como en el primero, donde x=-=——“, primero tendremos que

a
by = cie s por tanto c=by=c- Eo y O
ag —bf ag —bf
by = ea Heb El , y dividiendo entre au tenemos que
ag bf ag —bf
cae c-by _cg-—bh
a ag —bf '

527. Cuestión I. Para ilustrar este método con ejemplos, propongamos encontrar dos
números cuya suma sea =15 y diferencia =7. Llamemos x al número mayor y y al menor.
Tendremos que L x+y=15 y ll. x-y=7. La primera ecuación da x=15-y y la
segunda x=7+y, de donde resulta la nueva ecuación 15-—y=7+y. Así que
15=7+2y,2y =8, y y =4, por cuyo medio encontramos que x=11.

Respuesta. El número menor es 4 y el mayor es 11.

528. Cuestión II. También podemos generalizar la cuestión anterior al requerir dos
números cuya suma sea =a y la diferencia =b. Sea el mayor de los dos =x y el menor
= y. Tendremos que l x+y=a y Il. x-— y=0b, y que la primera ecuación da x=a- y y

la segunda x= y+b.

177

Por lo tanto a=y=b+y;¡a=b+2y;2y=a-b, y por último yea:

Z
a-=b a+b
Consecuentemente x=a=y=a ER
Ss a+b a=b
Respuesta. El número mayor, Oo x, es = En y el menor, o y, es = E o lo que
Ñ , 1 1 1 1 a : da
viene a ser lo mismo, O y y O y de aquí derivamos el siguiente

teorema. Cuando la suma de cualesquiera dos números es a y su diferencia es b, el mayor
de los dos números será igual a la mitad de la suma más la mitad de la diferencia, y el
menor de los dos números será igual a la mitad de la suma menos la mitad de la diferencia.

529. También podemos resolver la misma cuestión de la siguiente manera. Ya que

las dos ecuaciones son x+y=a y x— y=b, añadiendo una a la otra tenemos 2x=aw+b,
a+b ee ¿ Es
y por lo tanto x= E Por último, sustrayendo la misma ecuación de la otra tenemos

a—=b

2y=a-b, y por lo tanto y =

530. Cuestión HI. Una mula y un asno llevaban cargas que ascendían a algunos
centenares de pesos. El asno se quejó del suyo, y le dijo a la mula: “sólo necesito un
centenar del peso de tu carga para hacer que la mía sea tan pesada como la tuya”. La mula
respondió: “Sí, pero si tú me dieses un centenar de tu peso, yo cargaría tres veces tanto
como tú lo harías.” ¿Cuántos centenares de pesos cargaban cada cual?

Supongamos que la carga de la mula son x centenares de peso y la de la mula son y

centenares de peso. Si la mula le da un centenar de su peso al asno, uno tendrá y+1 y para

el otro quedará x—1, y como, en este caso, el asno carga tres veces tanto como la mula,

tenemos que y+1=2x-2.

Además, si el asno le da un centenar de pesos a la mula, esta última tendrá x+1 y el

asno se queda con y—1; pero ahora siendo la carga del primero tres veces tanto como la de

la última, tenemos que x+1=3y-—3. Consecuentemente, nuestras dos ecuaciones serán I.

dd

y+1=2x-2 y IL. x+1=3y-3. La primera da E y la segunda x=3y-4, de

178

y+3

as 11 > :
donde tenemos la nueva ecuación =3y-4, que da y = 5 y que también determina

el valor de x, que se vuelve 2

Respuesta. La mula cargaba 2- centenares de pesos y el asno 2.

531. Cuando hay tres números desconocidos y tantas ecuaciones [como números
desconocidos], como por ejemplo L x+y-2z=8, IL. x+2-y=9, Ml y+2z-x=10,
comenzamos, como antes, por deducir un valor de x para cada cual, y entonces para l.
tenemos x=8+2Z- y, para Il. x=9+ y-z, y para Ill. x= y+2z-10.

Comparando el primero de estos valores con el segundo, y después de eso también
con el tercero, tenemos las siguientes ecuaciones: IL 8+z-y=9+y-2z; IL
8+z-y=y+2-10. Ahora, la primera da 22-2y=1 y la segunda 2y=18 o y=9;

entonces, si sustituimos este valor de y en 2z-2y=l, tenemos que 2z-18=1 o que

: 1 sta
27 =19, así que z= 25 . Por lo tanto queda por determinar x, que fácilmente se encuentra

1
ue es =8—.
h 2

Aquí sucede que la letra z desaparece en la última ecuación y que encontramos el
valor de y de manera inmediata. Si éste no hubiese sido el caso, habríamos tenido dos
ecuaciones entre z y y a ser resueltas por la regla anterior.

532. Supongamos haber encontrado las siguientes tres ecuaciones: l.
3x+5y-42=25,IL 5x-2y+32=46, y Ill. 3y+52-x=62. Si de cada una deducimos

_ a AN IL y 46+2y-32

el valor de x, tendremos que Lx 3 5

, y IL

x=3y+52-—62. Comparando estos tres valores juntos, y primero el tercero con el

primero, tenemos que 3y+5z-62= == a multiplicando por 3 tenemos que

9y+152-186=25-5y+4z, así que 9y+152=211-5y+4z, y 14y+112=211.

a E a

que 46+2y-3z =15+25z2-—310, que reducido es 356 =13y+28Z. Ahora deduciremos el

Comparando el tercero con el segundo tenemos que 3y+5z-62=

179

valor de y de estas dos ecuaciones: I. 211=14+11z, y por tanto 14y=211-11lz y

y= MEME: 1 356=13y+28%, y por tanto 13y =356-285 y y= 9928. gos

., 211-11lz 356-28z
dos valores forman la nueva ecuación 14 = 13 , que se vuelve

2743-1437 = 4984 -392z o 2497 =2241, y por lo tanto z=9.

Sustituyendo este valor en una de las dos ecuaciones de y y z encontramos que
y =8 y que una sustitución similar en uno de los tres valores de x dará x=7.

533. Si hubiese más de tres cantidades desconocidas a ser determinadas y tantas
ecuaciones a ser resueltas, habríamos procedido de igual forma, aunque los cálculos
podrían llegar a ser muy tediosos. Es apropiado señalar, entonces, que en cada caso
particular pueden descubrirse medios que faciliten enormemente su resolución. Estos
medios consisten en introducir en el cálculo, además de las principales cantidades
desconocidas, una nueva cantidad desconocida asumida arbitrariamente como, por ejemplo,
la suma de todo el resto; y cuando una persona tiene por lo menos un poco de práctica en
tales cálculos fácilmente percibe qué es lo que resulta más apropiado hacer. Los siguientes
ejemplos podrán servir para facilitar la aplicación de estos artificios.

534. Cuestión IV. Tres personas juegan [una partida de póquer]. ** En el primer
juego, la primera pierde con cada una de las otras dos tanto dinero como cada una tiene. En
el siguiente, la segunda persona pierde con cada una de las otras dos tanto dinero como el
que ya tienen. Por último y en el tercer juego, la primera y la segunda persona ganan cada
una, de la tercera persona, tanto dinero como el que tenían antes. Cuando terminan,
descubren que todos tienen una suma igual, a saber, 24 Luises cada quien. Se requiere saber
con cuánto dinero empezó a jugar cada cual.

Supongamos que la apuesta de la primera persona fue de x Luises, la de la segunda
de y Luises, y la de la tercera de z Luises. Además, hagamos que la suma de todas las

apuestas, O x+y+z, sea =s. Ahora, la primera persona perdiendo en el primer juego

tanto dinero como tienen las otras dos, pierde s—x (porque él mismo habiendo tenido x,

19 Euler no dice a qué juegan estas tres personas, pero para efectos imaginativos podemos suponer que juegan
póquer, y esto no cambia en nada los argumentos matemáticos del ejemplo. Nota del Traductor.

180

los otros dos tendrían que haber tenido s—x). Por lo tanto a la primera persona le quedará
2x—s,ala segunda 2y, y a la tercera 2z..

Así que, después del primer juego, cada uno tendrá I. 2x—s, IL 2y, y UL 2z. En
el segundo juego la segunda persona, que ahora tiene 2y, pierde tanto dinero como tienen
los otros dos, esto es, s—2y, de tal forma que ha dejado 4y-— s. Con respecto a los otros,
cada uno habrá duplicado lo que tenían, así que después del segundo juego las tres personas
tendrán I. 4x-2s, IL 4y-s, y III. 4z..

En el tercer juego la tercera persona, que ahora tiene 4z, es el perdedor, y con la
primera pierde 4x-2s y con la segunda 4y-s; consecuentemente las tres personas
tendrán L 8x-4s, ll. 8y-2s, y lll. 8z2—s. Ahora bien, cada una teniendo al final del
juego 24 Luises, tenemos tres ecuaciones la primera de las cuales inmediatamente da x, la
segunda y, y la tercera z; además, se sabe que ses =72, ya que las tres personas tienen en
total 72 Luises al final del último juego (aunque no es necesario atender a esta circunstancia

primero). Tenemos entonces que

L Sx=49=24 0 8x=24+45 0 3=3+,53
1
IL IO A IN
1
TT. O
a 7 a
Añadiendo estos tres valores tenemos AO Así que, ya que

7 1 ! ar
x+y+2Z=S5, tenemos que oe y por tanto Ss =9 y s=72. Si ahora sustituimos

este valor de s en las expresiones que hemos encontrado para x, y, y z, descubriremos que,
antes de que [las tres personas] empezaran a jugar, la primera tenía 39 Luises, la segunda
21, y la tercera 12. Esta solución muestra que por medio de una expresión para la suma de
las tres cantidades desconocidas podemos sobrepasar las dificultades que tienen lugar en el
método ordinario.

535. Aunque la cuestión anterior parece ser difícil en principio, puede ser resuelta

incluso sin álgebra, y para esto sólo tenemos que intentar resolverla inversamente. Como

181

los tres jugadores, una vez acabado el juego, tenían cada uno 24 Luises, y en el tercer juego
el primero y el segundo duplicaban su dinero, antes de este último juego tuvieron que haber
tenido I. 12, IL. 12, y HI. 48. En el segundo juego el primero y el tercero duplicaban su
dinero, así que antes de tal juego tuvieron l. 6, II. 42, y III. 24. Por último, en el primer
juego el segundo y el tercero ganaron tanto dinero como con el que habían comenzado, así
que I. 39, IL. 21, y III. 12. Éste es el mismo resultado que obtuvimos con la primera
solución.

536. Cuestión V. Dos personas deben 29 pistoles, y aunque las dos tienen dinero,

ninguna de ellas se puede permitir pagar la deuda común. Entonces el primer deudor le dice

al segundo: “si me dieses : de tu dinero, yo podría pagar la deuda”, y el segundo le

responde que él también podría pagar la deuda si el primero le diese : de su dinero.

Requerimos saber cuántos pistoles tenía cada uno.

Supongamos que el primero tiene x pistoles y el segundo y pistoles. Primero
tenemos que x+s y=29 y que y= =x =29. La primera ecuación da x=29 > y la

ia , así que 29 7 = = 4y . De esta ecuación obtenemos y = 14L ,

segunda x=
1
y por lo tanto que x= 10

Respuesta. El primer deudor tenía 19. pistoles y el segundo 14) pistoles.

537. Cuestión VI. Tres hermanos compraron un viñedo por cien Luises. El menor
dice que podría haberlo pagado solo si el segundo le hubiese dado la mitad del dinero que
tenía; el segundo dice que si el mayor le hubiese dado únicamente la tercera parte de su
dinero, él podría haber pagado solo el viñedo, y el mayor sólo pide que le hubiesen dado
una cuarta parte del dinero del menor para así haber pagado el viñedo. ¿Cuánto dinero tenía
cada quien?

Supongamos que el primero tenía x Luises, el segundo y Luises, y el tercero z

: Era y 1
Luises. Entonces tendremos las siguientes tres ecuaciones: Ll. eE ÓO, IL

182

1
rs =100, y IL 240 > 100, y sólo dos de las cuales dan el valor de x, a saber, la
primera x=100>) y la tercera x=400-—4z. De esta forma tenemos la ecuación
1 1 >
100 — > y=400-4z, o 4z- 2 y =300, que debemos combinar con la segunda para
determinar y y z. Ahora, como la segunda ecuación fue y +32 =100, de ella deducimos
1 ; del O l
que y= eS: y siendo la última ecuación encontrada 4z de y =300, tenemos que

y=8z-—600. Consecuentemente la ecuación final es 100— zz =8z—600, y entonces

8,2=700,0 2100 y 2=84.Por lo tanto y =100-28="72 y x=64.

Respuesta. El menor tenía 64 Luises, el segundo 72, y el mayor 84.
538. Ya que en este ejemplo cada ecuación contiene sólo dos cantidades
desconocidas, podemos obtener la solución requerida de una manera más fácil. La primera

ecuación da y =200—2x, así que y está determinado por x, y si sustituimos este valor en la
o dl 1
segunda ecuación tenemos 200— 2x + a? =100, y por tanto os =2x-100 y z=6x-300.
Así pues, z también está determinado por x, y si introducimos este valor en la tercera
ko 1 , ,
ecuación obtenemos 6x-— 300 + e =100, en donde x está sola y que, cuando la reducimos

a 25x-1600=0,da x=64. Consecuentemente y =200-128=72 y z=384-300=84.

539. Podemos recurrir al mismo método si tenemos un mayor número de

z 4 Xx
ecuaciones. Supongamos, por ejemplo, que de manera general tenemos: Il. u+==n; IL
a

2+=2 TIT. y+ó=n, y IV. 2d o, reduciendo las fracciones, L au+x=an,; Il.
Cc

bx+ y =bn; UL cy+2=cn, y IV. dz+u=dhn.
Aquí, la primera ecuación inmediatamente da x =an— au, y sustituyendo este valor

en la segunda tenemos abn—abu+ y =bn, de tal forma que y=bn—abn+abu. La
sustitución de este valor en la tercera ecuación da bcn—abcn + abcu+2z=cn, y entonces

183

z=cn—=ben+aben—abcu, y sustituyendo esto en la cuarta ecuación tenemos que
cdn —bedn + abcdn — abcdu +u=dn, así que dn-—cdn+bcdn-—abcdn =-—abcdu+u, 0

(abcd —1)u = abcdn — bedn + cdn— dn; por lo tanto tenemos que

E abcdn — bedn + cdn— dn A (abcd — bed + cd — d)
abcd —1 abcd —1

Como consecuencia de todo lo anterior,

abcdn — acdn + adn — an (abcd — acd + ad — a)
X= =nx

abcd —1 abcd —1
_ abedn— abdn+abn—bn _ pa (abcd — abd + ab -—b)
a abed —1 abed-1 “
_ abedn—aben+ben—cn _ E (abcd — abc +bc-—c)
abcd —1 abcd —1
a abcdn — bedn + cdn—dn — ss, (abcd — bed + cd — d)
abcd —1 abcd —1

540. Cuestión VII. Un capitán tiene tres compañías, una de suizos, otra de suevos, y
otra tercera de sajones. Quiere hacer un asalto con parte de estas tropas y promete una
recompensa de 901 coronas bajo la siguiente condición: que cada soldado de la compañía
que asalta recibe una corona y que el resto del dinero se distribuye igualmente entre las
otras dos compañías.

Siendo esto así, se descubre que si los suizos hacen el asalto, cada soldado de las

otras compañías recibe media corona; que si son los suevos los que asaltan, cada soldado de

hos O | ; E
las otras compañías recibe 3 de una corona, y que si los sajones hacen el asalto, cada

ss o! ; ,
soldado de las otras compañías recibe 4 de una corona. Requerimos el número de hombres

en cada compañía.

Supongamos que el número de suizos es =x, el de los suevos = y, y el de los
sajones =Z. Y también hagamos que x+y+2z=s, porque de esta forma reducimos el

cálculo considerablemente. Si, por tanto, son los suizos los que hacen el asalto, y siendo x

su número, el de los otros será s—x. Ahora, los primeros reciben 1 corona y los últimos

, z 1 1 ' ,
media corona, así que tenemos x+ 2 —- > =901. Del mismo modo, si son los suevos los

184

1 1 a . ,
que llevan a cabo el asalto tenemos que y + el o y =901. Por último, si son los sajones

1 1 A e
tenemos que o Cada una de estas tres ecuaciones nos permitirá

determinar una de las cantidades desconocidas x, y, z, porque la primera nos da
x=1802-— ss, la segunda 2y =2703-— s, y la tercera 32 =3604-—s.

Si ahora tomamos los valores de 6x, 6y, y 6z y los escribimos uno encima del
otro tenemos que 6x=10812-—6s;6y=8109-—3s5;6z=7208-2s, y, por adición,
6s =26129-—11s o 17s=26129, así que s=1537, y éste es el número total de soldados,
por medio de lo cual encontramos que x=1802-—1537 =265; 2y =2703-1537=1166 o
y =583,y 32 =3604-1537 =2067 o z=6809.

Respuesta. La compañía de suizos consiste en 265 hombres, la de suevos en 383, y

la de sajones en 689.

CAPÍTULO V
DE LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS PURAS

541. Se dice que una ecuación es de segundo grado cuando contiene el cuadrado o
la segunda potencia de la cantidad desconocida sin ninguna de sus potencias altas. Una
ecuación que contiene la tercera potencia de la cantidad desconocida pertenece a las
ecuaciones cúbicas, y su resolución requiere de reglas particulares. Hay, por lo tanto,
únicamente tres tipos de términos en una ecuación de segundo grado:

1. Los términos en los cuales no se encuentra la cantidad desconocida en absoluto, o
que están compuestos únicamente de números conocidos.

2. Los términos en los cuales encontramos únicamente la primera potencia de la
cantidad desconocida.

3. Los términos que contienen al cuadrado o a la segunda potencia de la cantidad
desconocida.

Así pues, x significando una cantidad desconocida, y las letras a, b, c, d, etc.,
representando números conocidos, los términos del primer tipo tendrán la forma a, los del

segundo tipo la forma bx, y los del tercer tipo la forma cxx.

185

542. Ya hemos visto cómo pueden unirse dos o más términos del mismo tipo y ser
considerados como un solo término. Por ejemplo, podemos considerar la fórmula
axx —bxx+cxx como un solo término representado por (a—b+c)xx, ya que, en efecto,
(a—b+c) es una cantidad conocida.

Y también hemos visto cómo, cuando tales términos se encuentran en ambos lados
del signo =, podemos llevarlos a un lado y después reducirlos a un solo término. Tomemos,
por ejemplo, la ecuación 2xx—3x+4=3xx-—8x+11. Primero sustraemos 2xx y nos queda
-3x+4=3xx-8x+11; después, añadiendo 8x, obtenemos 5x+4=3xx+11, y por
último, sustrayendo 11, nos queda 3xx =5x-7.

543. También podemos llevar todos los términos a un lado del signo = para así dejar
únicamente 0 en el otro. Aquí debemos recordar que, cuando los términos son transpuestos
de un lado a otro, sus signos deben ser cambiados. Así, la ecuación de arriba asumirá la
forma 3xx-5x+7=0, y es por esta razón que la siguiente fórmula general representa
todas las ecuaciones de segundo grado: axx +bxx+c=0, en donde el signo + se lee como
más O menos, e indica que tales términos a veces pueden ser positivos y a veces negativos.

544. Sea cual sea la forma original de una ecuación cuadrática, siempre puede
reducirse a esta fórmula de tres términos. Si tenemos, por ejemplo, la ecuación

ax +D'-exES

e , primero debemos reducir las fracciones. Multiplicando, para este
cx+d gx+h

cexx+cfx +edx+ fd

propósito, por cx+d , tenemos ax+b=
gx+h

; después por gx+h tenemos

gxXx +bgx +ahx +bh =cexx +cfx+edx+ fd, que es una ecuación de segundo grado y
reducible a los tres siguientes términos, que vamos a transponer arreglándolos de la manera
habitual:

0 = agxx + bgx + bh,

— cexx+ahx-— fd,

= cfx

=edx.
También podemos mostrar esta ecuación de la siguiente manera, que es todavía más

clara: O = (ag — ce)xx+ (bg + ah- cf —ed)x+bh- fd.

186

545. A las ecuaciones de segundo grado en donde se encuentran todos los tres tipos
de términos se les llama completas, y su resolución supone grandes dificultades. Es por esta
razón que primero consideraremos aquellas en donde falta uno de los términos. Ahora, si el
término xx no se encontrase en la ecuación, ésta no sería cuadrática, sino que pertenecería a
aquel tipo que ya consideramos. Si faltase el término que contiene sólo números conocidos,
la ecuación tendría la forma axx+bx=0 que, siendo divisible entre x, puede reducirse a
axtb=0, y que es del mismo modo una ecuación simple y por tanto no pertenece a la
clase presente.

546. Pero cuando falta el término de en medio, el término que contiene la primera
potencia de x, la ecuación asume la forma axx+c=0 o axx=ztc, ya que el signo de c
puede ser positivo o negativo. A una ecuación así la llamaremos una ecuación de segundo

grado pura, debido a que su resolución no supone dificultad alguna, ya que sólo tenemos

A C >
que dividir entre a, lo que da xx ==, y tomando la raíz cuadrada de ambos lados tenemos
a

que x= , por medio de lo cual resolvemos la ecuación.

a | a]

E E C
547. Pero aquí tendremos que considerar tres casos. En el primero, cuando — es un
a

número cuadrado (del cual podemos, por tanto, asignar realmente la raíz), para el valor de
x obtenemos un número racional que puede ser entero o fraccional. Por ejemplo, la

ecuación xx=144 da x=12, y mo da >.

La segunda variedad es cuando no es un cuadrado, en cuyo caso debemos

a
contentarnos con el signo N. Si, por ejemplo, xx=12, tenemos que x= ¡pS cuyo valor

puede ser determinado por aproximación, como ya hemos visto.

Cc a .
El tercer caso es en el que — se vuelve un número negativo. Entonces el valor de x
a

es del todo imposible e imaginario, y este resultado prueba que la cuestión que conduce a
tal ecuación es por sí misma imposible.
548. Antes de seguir debemos observar que, siempre que se requiera extraer la raíz

cuadrada de un número, tal raíz, como ya vimos, siempre tiene dos valores, uno positivo y

187

otro negativo. Supongamos tener la ecuación xx=49; entonces el valor de x no sólo será
+7, sino también —7, lo que expresamos por x=>+7. Así que todas estas ecuaciones
admiten una doble respuesta, pero fácilmente se percibirá que en muchos casos, como en
aquellos, por ejemplo, que tienen que ver con un cierto número de hombres, el valor
negativo no puede existir.

549. También en ecuaciones del tipo axx=bx, 1. e., en donde falta la cantidad
conocida c, puede haber dos valores de x, aunque sólo tenemos uno si es que dividimos
entre x. En la ecuación xx =3x, por ejemplo, en donde se requiere asignar un valor de x tal
que xx pueda volverse igual a 3x, suponemos que x=3, un valor que encontramos al
dividir la ecuación entre x. Pero además de este valor también hay otro que es igualmente
satisfactorio, a saber, x=0, porque entonces xx=0 y 3x=0. Por lo tanto, las ecuaciones
de segundo grado admiten, en general, dos soluciones, mientras que las ecuaciones simples
admiten solamente una.

Ahora ilustraremos, a partir de algunos ejemplos, lo que hemos dicho con respecto a
las ecuaciones puras de segundo grado.

550. Cuestión I. Se requiere un número cuya mitad multiplicada por su tercera parte

dé 24. Sea este número =x. Entonces 3 multiplicado por 3 debe dar 24, y por tanto
tenemos la ecuación a =24. Multiplicando por 6 tenemos xx =144, y la extracción de

: 1
la raíz da x=+12. Hemos puesto + porque si x=+12, entonces A =6 y a =4,yel

; 1 1
producto de estos dos números es 24; y si x=-—12, entonces 7 =Ó6 y a =-4, cuyo

producto es igualmente 24.

551. Cuestión H. Se requiere un número tal que, al añadirle 5 y al sustraerle 5, el
producto de la suma por la diferencia sea 96. Sea x este número; entonces x+5
multiplicado por x—3 debe dar 96, de donde resulta la ecuación xx-—25=96. Añadiendo
25 tenemos que xx=121, y extrayendo la raíz tenemos que x=11. De esta forma,
x+5=16, y también x-5=6, y por último 6x16=096.

552. Cuestión HI. Se requiere un número tal que, al añadirle 10 y al sustraerle 10, la

suma multiplicada por la diferencia dé 51. Sea x este número; 10+x multiplicado por

188

10—x debe dar 51, así que 100—xx=351. Añadiendo xx y sustrayendo 51 tenemos que
xx = 49, cuya raíz cuadrada da x=7.

553. Cuestión IV. Tres personas terminan de jugar [una partida de póquer]. La
primera acaba con tantas veces 7 coronas como la segunda tiene tres coronas, y la segunda
con tantas veces 17 coronas como la tercera tiene 5 coronas. Además, si multiplicamos el
dinero de la primera por el dinero de la segunda, y el dinero de la segunda por el dinero de

la tercera, y por último, el dinero de la tercera por el de la primera, la suma de estos tres
E Ze > ¿ ,
productos será 00 . ¿Cuánto dinero tiene cada cual?

Supongamos que el primer jugador tiene x coronas, y como tiene tantas veces 7
coronas como el segundo tiene 3 coronas, sabemos que su dinero es al del segundo en la

razón de 7:3. Por lo tanto haremos que 7:3=x al dinero del segundo jugador, que por

consiguiente es >. Además, como el dinero del segundo jugador es al del tercero en la

razón de 17: 5, diremos que 17:5= = al dinero del tercer jugador, o a o ¿
Multiplicando x, o el dinero del primer jugador, por =>. el dinero del segundo,

tenemos el producto 0%, Entonces =x , el dinero del segundo jugador, multiplicado por

el dinero del tercero, o por EA da nda Por último, el dinero del tercero, o 00
119 833 119

Eee E o 1
multiplicado por x, o por el dinero del primero, da ar, La suma de estos tres productos

3 45 15 , ! ! z
es a Xx + 833 Xx + 119 xx, y reduciendo estas fracciones al mismo denominador

encontramos que su suma es 3%, que debe ser igual al número 38307 . Tenemos, por

tanto, que SL = 38302.
833 A

189

Así que => xx=11492, y 1521xx siendo igual a 9572836, al dividir entre 1521

9572836 z 3094 us
tenemos que xx = ET y tomando su raíz encontramos que x= 0 * Esta fracción

es reducible a términos inferiores si la dividimos entre 13, así que x= o = 9, , y por lo

tanto concluimos que que =x =34 y que + =10.

h A ; 1
Respuesta. El primer jugador tiene de coronas, el segundo 34, y el tercero 10.

Observación. Este cálculo puede llevarse a cabo de una forma más fácil, a saber, al
tomar los factores de los números que se presentan y al atender los cuadrados de tales
factores. Es evidente que 507 =3x169 y que 169 es el cuadrado de 13, y también lo es que

833=7x119 y que 119=7x17. Ahora bien, tenemos que e
Xx

Xx = 38307 , y sl

de e xx=11492. Ahora resolvamos este número

multiplicamos esto por 3 tenemos
Xx

también en sus factores. Inmediatamente percibimos que el primero es 4, esto es, que
11492 =4x2873, y además que 2873 es divisible entre 17, así que 2873 =17x169. Como

O STO E
49

consecuencia de esto, nuestra ecuación asumirá la forma
Xx

dividida entre 169 se reduce a 7 e xx=4x17,. Multiplicando por 17x49 y dividiendo
*x

4x 289x409 ES
entre 9 tenemos que dd AT: una ecuación en la que todos los factores son
ADA A y , 2x17x7 1
cuadrados. Por consiguiente tenemos, sin ningún cálculo más, la raíz x= 3 ="79 3

justo como antes.
$e ru, be E 11
554. Cuestión V. Una compañía de comerciantes nombra un agente en Arcángel.
Cada uno de los comerciantes contribuye con el negocio que tienen en mente diez veces

tantas coronas como hay socios. El beneficio del agente está fijado en el doble de lo que

!! Arcángel es una ciudad situada al norte de Rusia. Nota del Traductor.

190

; é Lo ice 1
haya en coronas, por ciento, como haya socios. Además, si multiplicamos la 100 parte de

; Z a z , A
su ganancia total por ea encontraremos el número de socios. ¿Cuál es tal número?

Sea =x, y ya que cada socio ha contribuido con 10x, el capital total es =10xx.

Ahora, por cada cien coronas el agente gana 2x, así que con el capital de 10xx su ganancia

1 y 1 Lea 2
será de cd . La centésima parte de esta ganancia es 0? y multiplicando por 0 , O por

20 20, La ; ] ,
—, tenemos x,0O x”, y esto debe ser igual al número de socios, 0 a x.
9 4500 225

o, 1 , R
Tenemos, entonces, la ecuación id =x 0 xx =225x, que a primera vista parece

ser [una ecuación] de tercer grado; pero como podemos dividirla entre x, se reduce a la
[ecuación] cuadrática xx = 225, de donde surge que x=15.

Respuesta. Hay quince socios y cada uno contribuyó con 150 coronas.

CAPÍTULO VI
DE LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES MIXTAS DE SEGUNDO GRADO

553. Se dice que una ecuación de segundo grado es mixta, o completa, cuando en
ella se encuentran tres tipos de términos, a saber, aquel que contiene al cuadrado de la
cantidad desconocida, como axx; aquel en el que se encuentra la cantidad desconocida
sólo en la primera potencia, como bx, y por último, el tipo de términos compuestos
únicamente de cantidades conocidas. Y como podemos unir dos o más términos del mismo
tipo en uno solo, y llevar todos los términos a un lado del signo =, la forma general de una
ecuación mixta de segundo grado será axx+bx+c=0.

En este capítulo mostraremos cómo se deriva el valor de x de estas ecuaciones. Se
verá que hay dos métodos de obtenerlo.

556. Una ecuación del tipo que estamos considerando puede reducirse, por división,
a una forma tal que el primer término pueda contener sólo al cuadrado xx de la cantidad
desconocida x. Dejaremos al segundo término en el mismo lado con x, y transpondremos el

término conocido al otro lado del signo =. Por estos medios, nuestra ecuación asumirá la

191

forma xx+ px + q, en donde p y q representan cualesquiera números conocidos, positivos O

negativos, y ahora todo se reduce a determinar el verdadero valor de x. Comenzaremos por

remarcar que, si xx+ px fuese un cuadrado real, la resolución no supondría dificultad
alguna, porque únicamente requeriríamos tomar la raíz cuadrada de ambos lados.

557. Pero es evidente que xx+ px no puede ser un cuadrado, porque ya hemos visto

que si una raíz consiste en dos términos, por ejemplo x+n, su cuadrado siempre contiene
tres términos, a saber, dos veces el producto de las dos partes además del cuadrado de
cada parte; esto es, el cuadrado de x+n es xx+2nx+mnn. Ahora, en un lado ya tenemos

xx + px; podemos, por tanto, considerar xx como el cuadrado de la primera parte de la

raíz y, en este caso, px debe representar dos veces el producto de x, la primera parte de la

z 1

raíz por la segunda parte. Consecuentemente, esta segunda parte debe ser 2 p,y en efecto
1 1
el cuadrado de x+ > p resulta ser xx+ px+ ¿PP ;
1 : y 1 z

558. Ahora, xx+ px+ 4 pp siendo un cuadrado real, que tiene x+ 3 Pp por su raíz,

; ze h A!
si reanudamos nuestra ecuación xx+ px=q, sólo tenemos que añadir a pp a ambos

1 J
lados, lo que nos da xx+ PEN PP An pp, el primer lado siendo en realidad un

cuadrado y el otro conteniendo sólo cantidades conocidas. Si, por tanto, tomamos la raíz

1 Jl 1
cuadrada de ambos lados, encontramos que dis H= É p0+9) y sustrayendo 37

fl Í
obtenemos x= => p+ E Pp+ a) ; y como toda raíz cuadrada puede tomarse afirmativa

1 1
o negativamente, para x tendremos dos valores expresados así: x= ES p+ E Pp+ a)

559. Esta fórmula contiene la regla por la cual pueden resolverse todas las
ecuaciones cuadráticas, y será bueno conservarla en la memoria para que así no sea
necesario repetir, cada vez, toda la operación que hemos realizado. Siempre podemos

arreglar la ecuación de tal manera que el cuadrado puro xx pueda encontrarse en un lado y

192

que la ecuación de arriba tenga la forma xx =—px+q, donde inmediatamente vemos que
a
SES pi 4 pp+g.

560. La regla general, pues, que deducimos de esto para resolver la ecuación
xx =-—px+q se encuentra en la siguiente consideración: que la cantidad desconocida x es
igual a la mitad del coeficiente o del multiplicador de x en el otro lado de la ecuación, más
o menos la raíz cuadrada del cuadrado de este número y la cantidad conocida que forma el
tercer término de la ecuación.

Así, si tuviésemos la ecuación xx=6x+*7, inmediatamente diríamos que

x=3+.94+7 =31+4, de donde tenemos los dos valores de x, L x=7 y Ul. x=-—1. Del

mismo modo, la ecuación xx=10x-—9 nos daría x=5w 125-9=5+ 4, esto es, los dos
valores de x son 9 y 1.

561. Esta regla se comprenderá mejor si distinguimos los siguientes casos. I. cuando
p es un número par; II. cuando p es un número non, y III. cuando p es un número
fraccional.

I. Sea p un número par y una ecuación tal que xx =2px+ q . En este caso tendremos

que x=pt.pp+4q.

Il. Sea p un número non y la ecuación xx=px+q. Aquí tendremos que

1 1 +4
xX==Pt.-—Pp+4, y como 7 pp+q= aa , podemos extraer la raíz cuadrada del

2 4

pp+%4q _p+ pp+%q
2 2

. JS 1
denominador y escribir x= > pi
III. Por último, si p es una fracción, la ecuación puede resolverse de la siguiente

DA. e "
manera. Sea axx=bx+cCc,0 xx=-—+-=, nuestra ecuación. Entonces tendremos, por regla,

a a
que x= z + an + a . Ahora, pa + a dd , Cuyo denominador es un cuadrado,
2a 4aa a a a 4aa
A b+-=bb+4ac
así que x = ———— ,
2a

193

562. El otro método de resolver ecuaciones cuadráticas mixtas consiste en
transformarlas en ecuaciones puras. Esto se hace por sustitución; por ejemplo, en la

ecuación xx=px+q, en lugar de la cantidad desconocida x, podemos escribir otra

; . 1 A ; A
cantidad desconocida y tal que x= y + > Pp, por cuyo medio, una vez habiendo determinado
y, inmediatamente encontramos el valor de x.

. ES 1 1
Si hacemos esta sustitución de y + > p en lugar de x, tenemos xx= yy + py+ 4 PP
1 33 z
y px=py+ 7] PP; consecuentemente, nuestra ecuación se volverá

1 1 ; ,
yy + py+ 4 Pp =py+ > Pp+q, que primero es reducida, al sustraer py, a

l 1 1 1 E
yy + A PE = 1 + q, y después, al sustraer ¿PP ,2a yy= ¿PP + q. Esta es una ecuación

j ; . 1 1
cuadrática pura, que inmediatamente da y=zw > pp+q. Ahora, ya que x= y+ E P,

1 1 : y
tenemos que ds a pp+q, justo como encontramos antes. Sólo nos queda,

entonces, ilustrar esta regla con algunos ejemplos.

563. Cuestión I. Hay dos números; uno excede al otro por 6 y su producto es 91.
¿Cuáles son tales números? Si el menor es x, el otro es x+6 y su producto es xx+6x=091.
Sustrayendo 6x nos queda xx=91-—6x, y nuestra regla nos da x=-3+ 9+91=-3+10,
así que x=7 y x=-13.

Respuesta. La cuestión admite dos soluciones. Por una, el menor número xes =7 y
el mayor x+6=13. Por la otra, el menor número x=-—13 y el mayor x+6=-—7.

564. Cuestión II. Encontrar un número tal que, si tomamos 9 de su cuadrado, el
resto puede ser un número tantas unidades mayor que 100 como el número buscado es
menor que 23. Sea el número buscado = x. Sabemos que xx—9 excede a 100 por xx-—109

, y como x es menor que 23 por 23-—x, tenemos la ecuación xx-—109=23-—x. Por

consiguiente, xx =-x+132, y, por nuestra regla,
a l 4132 = o Sa A x=11 y x=-12.
2 4 2 4 2 AZ

194

Respuesta. Si sólo se requiere un número positivo, tal número será 11, cuyo
cuadrado menos 9 es 112, y consecuentemente mayor que 100 por 12 del mismo modo que
11 es menor que 23 por 12.

565. Cuestión HI. Encontrar un número tal que, si multiplicamos su mitad por su

tercio, y al producto le añadimos la mitad del número requerido, el resultado será 30.

Supongamos que tal número es = x. Su mitad multiplicada por su tercio dará ad así que

¿a + 3 =30. Multiplicando por 6 tenemos xx+3x=180 o xx=-3x+180, lo que da

x= a + Ed +180 = a an el . Consecuentemente, xes =12 o =-15.
2 4 22
566. Cuestión IV. Encontrar dos números, uno siendo el doble que el otro, tales que,
si añadimos su suma a su producto, obtengamos 90. Sea uno de los números = x. Entonces

el otro será =2x, su producto =2xx, y si a esto añadimos 3x, o su suma, la nueva suma

debe dar 90. Así que 2xx+3x =90;2xx =90-—3x;xx = = +45, de donde obtenemos que

A de PR TN x=60 e
4 16 4 4 2

567. Cuestión V. Un vendedor de caballos, quien compró uno por un cierto número
de coronas, lo vende de nuevo por 119 coronas, y su ganancia es tanto porcentaje como le
costó el caballo. ¿Cuánto pagó por él? Supongamos que el caballo costó x coronas.

Entonces, como el vendedor de caballos gana x porcentaje, diremos que, si 100 dan el

Les > XxX l XxX eso
beneficio x, ¿cuánto da x? La respuesta es 100 Así pues, ha ganado 100 y originalmente

4 E XX
el caballo le costó x coronas; entonces debe haberlo vendido por Er y por tanto

x+ o =119. Sustrayendo x tenemos 00 =-x+119, y multiplicando por 100 tenemos
xx =-—100x+11900. Aplicando nuestra regla descubrimos que

x=-50%+ 2500+11900 =-50+ 14400 =-50+120.

195

Respuesta. El caballo costó 70 coronas, y como el vendedor ganó 70 por ciento
cuando lo vendió de nuevo, la ganancia debe haber sido de 49 coronas. El caballo, por
tanto, debió haberse vendido de nuevo por 70+ 49 coronas, esto es, por 119 coronas.

568. Cuestión VI. Una persona compra un cierto número de piezas de ropa. Por la
primera pieza paga 2 coronas; por la segunda, 4; por la tercera, 6, y así siempre 2 coronas
más por cada nueva pieza de ropa. Todas las piezas juntas le costaron 110 coronas.
¿Cuántas piezas compró?

Sea =x el número buscado. Dada la naturaleza de la cuestión, el comprador pagó
las distintas piezas de ropa de la siguiente manera:

por la 1,2, 3, 4, 53,..., x pieza

paga 2,4, 6, 8,10,..., 2x coronas.

Se requiere, por lo tanto, encontrar la suma de la progresión aritmética
2+4+6+8+10+...+2x, consistente en x términos, y tal que de ella podamos deducir el
precio de todas las piezas de ropa tomadas juntas. La regla que ya ofrecimos para esta
operación requiere que sumemos el último término y el primero, esto es, 2x+2. Si
multiplicamos esta suma por x, el número de términos, el producto será 2xx+2x, y si, por
último, dividimos esto entre 2, la diferencia, el cociente será xx+x, que es la suma de la

progresión. Así que tenemos que xx+x=100; por tanto, xx=-x+110 y

pt A 1 E
2 4 Ze 2

Respuesta. El número de piezas de ropa es 10.

569. Cuestión VI. Una persona compró varias piezas de ropa por 180 coronas. Si
por la misma suma hubiese recibido 3 piezas más, habría pagado tres coronas menos por
cada pieza. ¿Cuántas piezas compró?

Hagamos que el número buscado sea =x. Entonces cada pieza le habrá costado

1 ñ j E E
tad coronas. Ahora, si el comprador hubiera tenido x+3 piezas por 180 coronas, cada
Xx

pieza le habría costado coronas, y como este precio es menor que el precio real por

x+

bs 180 180 Eon
tres coronas, tenemos la ecuación a Multiplicando por x tenemos
x+ Xx

196

LEnN =180-—3x; dividiendo entre 3 tenemos E =60-—x, y de nuevo multiplicando por

x+3 x+

x+3 tenemos 60x =180+57x-— xx. Añadiendo xx tendremos que xx+60x =180+57x, y

sustrayendo 60x tendremos que xx =-—3x+180. En consecuencia, nuestra regla nos da que

psa ? 1180 o que pi
2 14 2. 2

Respuesta. Por 180 coronas compró 12 piezas de ropa a 15 coronas la pieza, y si
hubiese recibido 3 piezas más, a saber, 15 piezas por 180 coronas, cada pieza le habría
costado solamente 12 coronas, esto es, 3 coronas menos.

570. Cuestión VII. Dos comerciantes se asocian con un capital de 100 coronas; uno
deja su dinero en la asociación por tres meses, el otro el suyo por dos meses, y cada uno
obtiene 99 coronas de capital y ganancia. ¿Qué proporción del capital proporcionó cada
cual? Supongamos que el primer socio contribuyó con x coronas; entonces el otro lo habrá
hecho con 100—x. Ahora, el primer socio recibiendo 99 coronas, su ganancia es 99— x
que ha ganado en tres meses junto con x, y como el segundo también recibe 99 coronas, su

ganancia es x—1, que ha ganado en dos meses junto con 100 — x . También es evidente que

E A a : g
la ganancia de este segundo socio habría sido si hubiese permanecido tres meses en

la asociación. Ahora bien, como las ganancias obtenidas en el mismo tiempo están en
proporción con las contribuciones principales, tenemos la proporción

13991000: 2,

La igualdad del producto de los [términos] extremos con la de los [términos] medios

nos da la ecuación EE 9900199: + ax multiplicando esto por 2 tenemos

3xx-3x=19800-398x+2xx; sustrayendo 2xx tenemos xx-3x=19800-398x, y
añadiendo 3x tenemos xx =19800-395x.

Por lo tanto, por nuestra regla tenemos que

395 156025 79200 __395 458_90_
2 4 4 A

AS.

x=

Respuesta. El primer socio contribuyó con 43 coronas y el segundo con 535. El

primero, habiendo ganado 54 coronas en tres meses, habría ganado 18 coronas en un mes, y

197

el segundo, habiendo ganado 44 coronas en dos meses, habría ganado 22 coronas en un
mes. Estas ganancias concuerdan, porque si con 45 coronas se ganan 18 coronas en un mes,
con 55 coronas se ganarán 22 coronas en el mismo tiempo.

571. Cuestión IX. Dos niñas llevan 100 huevos al mercado. Una tenía más que la
otra, pero la suma que ambas recibieron por los huevos fue la misma. La primera le dice a

la segunda: “Si yo hubiese tenido tus huevos, habría recibido 15 sous.” Y la segunda le
; j ; E 2
responde: “Si yo hubiese tenido los tuyos, habría recibido “3 sous.” ¿Cuántos huevos

llevaba cada cual?
Supongamos que la primera tenía x huevos; entonces la segunda habrá tenido
100—x. Como la primera habría vendido 100—x huevos por 13 sous, tenemos la

15x

—=X

proporción 100—x:15=x...es a

. Como la segunda habría vendido x huevos por

5% sous, encontramos cuánto recibió por 100— x huevos al decir que x: = =100- x...es

a eS Ya que ambas niñas recibieron el mismo dinero, tenemos la ecuación
Xx
Lo = A que se vuelve 23xx=200000-—4000x, y por último
100-— x 3x

xx =-—160x +8000, de donde obtenemos que x=-80+ 6400 +8000 =-80+120=40.

Respuesta. La primera niña cargaba 40 huevos, la segunda 60, y cada una recibió 10
sous.

572. Cuestión X. Dos comerciantes venden entre sí una cierta cantidad de seda. El
segundo vende 3 varas [de seda] más que el primero, y entre ambos recibieron 35 coronas.
El primero le dice al segundo: “Yo debí haber recibido 24 coronas por tu seda.”, y el
segundo le responde: “Y yo debí haber recibido 12 coronas y media por la tuya.” ¿Cuántas
varas tenía cada cual?

Supongamos que el primero tenía x varas; entonces el segundo debió haber tenido

x+3 varas. Ahora, ya que el primero habría vendido x+3 varas por 24 coronas, tuvo que

haber recibido

coronas por sus x varas. Y con respecto al segundo, ya que habría
x+

198

; 1 y ¿
vendido x varas por Le coronas, habría tenido que vender sus x+3 varas por

25x +75
2x

=35 coronas.

Esta ecuación se vuelve xx=20-75, y por tanto tenemos que
x=10+ 1100-75 =10%5.

Respuesta. La cuestión admite dos soluciones. De acuerdo con la primera, el primer
comerciante tuvo 15 varas y el segundo 18, y como aquél habría vendido 18 varas por 24
coronas, habría vendido sus 15 varas por 20 coronas; el segundo, quien habría vendido 15
varas por 12 coronas y media, tuvo que haber vendido sus 18 varas por 15 coronas, así que
realmente recibieron 35 coronas por su mercancía.

De acuerdo con la segunda solución, el primer comerciante tenía 5 varas y el otro 8;
así que, como el primero habría vendido 8 varas por 24 coronas, tuvo que haber recibido 15
coronas por sus 5 varas, y como el segundo habría vendido 3 varas por 12 coronas y media,

sus 8 varas tuvieron que haberle dado 20 coronas. La suma es, como antes, 35 coronas.

CAPÍTULO VII
DE LA NATURALEZA DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

573. Lo que hemos dicho basta para mostrar que las ecuaciones de segundo grado
admiten dos soluciones, y esta propiedad debe examinarse desde cada punto de vista,
porque la naturaleza de las ecuaciones de un grado superior se verá así muy ilustrada. Es
por esto que debemos volver a trazar, con mayor atención, las razones que permiten que
una ecuación de segundo grado sea capaz de una doble solución, ya que indudablemente
expondrán una propiedad esencial de tales ecuaciones.

574. Ya hemos visto, es cierto, que esta doble solución surge de la circunstancia de
que la raíz cuadrada de cualquier número puede tomarse positiva o negativamente. Sin
embargo, ya que este principio no se aplica fácilmente a ecuaciones de grados superiores,
es apropiado ilustrarlo con un análisis distinto. Tomando, por ejemplo, la ecuación

cuadrática xx=12x-33, ofreceremos una nueva razón para que esta ecuación sea

199

resoluble de dos maneras al admitir, para x, los valores 5 y 7, ambos de los cuales satisfacen
los términos de la ecuación.

575. Para este propósito lo más conveniente es comenzar con transponer los
términos de la ecuación de tal forma que uno de los lados se vuelva O; entonces esta
ecuación toma la forma xx -—12x +35 =0, y ahora requerimos encontrar un número tal que,
si lo sustituimos por x, la cantidad xx-—12x +35 realmente pueda ser igual a nada. Después
de esto, tendremos que mostrar cómo puede hacerse esto de dos maneras.

576. Ahora todo consiste en mostrar claramente que una cantidad de la forma
xx-12x+35 puede considerarse como el producto de dos factores; así, de hecho, la

cantidad de la que hablamos está compuesta de los dos factores (x—53)x(x—7). Esto
porque, como esta cantidad debe volverse O, también tenemos que tener el producto
(x-5)x(x-7)=0; pero un producto, compuesto de cualquier número de factores, se
vuelve =0 únicamente cuando uno de tales factores es reducido a O. Este es un principio
fundamental al cual debemos prestar una atención particular, especialmente cuando
tratemos con ecuaciones de varios grados.

577. Puede, por tanto, comprenderse fácilmente que el producto (x-5)x(x-—7)
puede volverse O de dos maneras: una, cuando el primer factor x-5=0; la otra, cuando
el segundo factor x-"1=0. En el primer caso x=35 y en el segundo x=". La razón,
entonces, de por qué tal ecuación xx-12x+35=0 admite dos soluciones es bastante
evidente; esto es, por qué podemos asignar dos valores de x ambos de los cuales satisfacen
igualmente los términos de la ecuación. Este principio fundamental consiste en esto: que la
cantidad xx—12x+35 puede ser representada por el producto de dos factores.

578. Las mismas circunstancias se encuentran en todas las ecuaciones de segundo
grado, porque, una vez llevados todos los términos a un lado, siempre encontramos una
ecuación de la forma xx—ax+b=0, y esta fórmula siempre puede considerarse como el
producto de dos factores que representaremos por (x— p)x(x-—q) sin preocuparnos por
qué números representen las letras p y q. Ahora, ya que este producto debe ser =0, dada la
naturaleza de nuestra ecuación es evidente que esto puede suceder de dos maneras; en
primer lugar, cuando x= p, y en segundo lugar, cuando x=q, y éstos son los dos valores

de x que satisfacen los términos de la ecuación.

200

579. Consideremos ahora la naturaleza de estos dos factores con el fin de que la
multiplicación de uno por el otro pueda producir xx—ax+b de manera exacta. Al

multiplicarlos en realidad, tenemos xx—(p+q)x+ pq, que debe de ser lo mismo que
xx—ax+b, y entonces tenemos, evidentemente, que p+q=a y que pq=b. Así que de

esto hemos deducido una propiedad muy singular, a saber, que en toda ecuación de la
forma xx-ax+b=0, los dos valores de x son tales que su suma es igual a a y su producto
igual a b, de donde se sigue que, si conocemos uno de los valores, el otro puede
encontrarse fácilmente.

580. Hemos considerado el caso en el que los dos valores de x son positivos, y que
requiere que el segundo término de la ecuación tenga el signo — y que el tercero tenga el
signo +. Ahora consideremos los casos en los que uno o ambos valores de x se vuelven
negativos. El primer caso tiene lugar cuando los dos factores de la ecuación dan un
producto de la forma (x-— p)x(x+ q), porque entonces los dos valores de x son x=p y
x=-q, y la propia ecuación se vuelve xx+(q— p)x- pq =0. El segundo término tiene el
signo + cuando q es mayor que p y el signo — cuando q es menor que p; el tercer término
siempre es negativo.

El segundo caso, en el que ambos valores de x son negativos, ocurre cuando los dos
factores son (x+ p)x(x+ q), porque entonces tendremos que x=—p y x=-q y la propia
ecuación se vuelve xx+(p+q)x+ pq=0, en donde tanto el segundo como el tercer
término están afectados por el signo +.

581. Consecuentemente, los signos del segundo y del tercer término nos muestran la
naturaleza de las raíces de cualquier ecuación de segundo grado. Sea x...ax..b=0 la
ecuación; si el segundo y el tercer término tienen el signo +, los dos valores de x son
negativos; si el segundo término tiene el signo — y el tercero tiene +, ambos valores son
positivos; por último, si el tercer término también tiene el signo —, entonces uno de los
valores es positivo. Pero en todos los casos, sin importar cuáles sean, el segundo término
contiene la suma de los dos valores y el tercer término contiene su producto.

582. Después de lo dicho, será muy fácil formar ecuaciones de segundo grado
conteniendo cualesquiera dos valores. Requiérase, por ejemplo, una ecuación tal que uno de

los valores de x pueda ser 7 y el otro —3. Primero formamos las ecuaciones simples x=7

201

y x=-3; después, x-7=0 y x+3=0, que nos dan, de esta manera, los factores de la
ecuación requerida, que consecuentemente se vuelve xx-4x-21=0. Aplicando la regla
expuesta arriba, encontramos los dos valores de x, porque si xx=4x+21, tenemos que
x=2+ 25=2+5,es decir, que x=7 0 x=-3.

583. También puede ser el caso que los valores de x sean iguales. Búsquese, por
ejemplo, una ecuación en la que ambos valores puedan ser =5. Los dos factores serán
(x-5)x(x—5) y la ecuación buscada será xx—10x+25=0. En esta ecuación, x parece
tener sólo un valor, pero eso es porque encontramos dos veces que x es =5, tal como
muestra el método común de resolución. Así pues, tenemos que xx=10x-—25, y por tanto
que x=5+ 0=5+0, esto es, es =5 de dos maneras.

584. A veces ocurre un caso muy singular en el que ambos valores de x se vuelven
imaginarios o imposibles, y entonces es totalmente imposible asignar cualquier valor para x
que satisfaga los términos de la ecuación. Propóngase, por ejemplo, dividir al número 10 en
dos partes tales que su producto pueda ser 30. Si a una de tales partes la llamamos x, la otra
será =10-x y su producto será 10x-xx=30. Por consiguiente, xx=10x-30 y
x=5t.-5 que, siendo un número imaginario, muestra que la cuestión es imposible.

585. Resulta muy importante, entonces, descubrir alguna señal por medio de la cual
podamos saber de inmediato si una ecuación de segundo grado es posible o no.

Retomemos la ecuación general ax—-xx+b=0. Entonces tendremos que
1 1 3 1
xx=ax-b y que x=_a+. —aa—b. Esto muestra que, si b es mayor que —aa, o 4b
2 4 4
mayor que aa, los dos valores de x siempre son imaginarios, ya que se requeriría extraer la
a ' E a 1 '
raíz cuadrada de una cantidad negativa; por el contrario, si b es menor que e o incluso

menor que 0, esto es, si es un número negativo, ambos valores serán positivos o reales.
Pero, ya sean reales o imaginarios, no es menos cierto que siguen siendo expresables y que
siempre tendrán la propiedad de que su suma es =a y su producto =b. En la ecuación

xx=-6x+10=0, por ejemplo, la suma de los dos valores de x debe ser =6 y su producto

=10; encontramos que l. x=3+ 1. y que Il. x=3-— '—1, cantidades cuya suma es =6

y cuyo producto es =10.

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586. Las expresiones recién encontradas pueden ser representadas de una manera

más general y con el fin de ser aplicadas a ecuaciones de la forma fxxt gx+h=0, porque

gt. g8-4
ca o oa. gg _h A E fh

” 2 NA 2f

concluimos que los dos valores son imaginarios, y consecuentemente la ecuación es

, de donde

imposible cuando 4fh es mayor que gg, esto es, cuando, en la ecuación fxx— gx+h=0,
cuatro veces el producto del primero y del último término excede al cuadrado del segundo
término, porque el producto del primero y del último término, tomado cuatro veces, es
4 fhxx y el cuadrado del término de en medio es ggxx; ahora, si 4 fhxx es mayor que ggxx,
4 fh también es mayor que gg, y en tal caso la ecuación es evidentemente imposible. En
todos los otros casos la ecuación es posible y podemos asignar los dos valores reales de x.
Es verdad que a veces son irracionales, pero ya hemos visto que en tales casos siempre
podemos encontrarlos de manera aproximada, mientras que ninguna aproximación puede
tener lugar con respecto a las expresiones imaginarias como .—5, porque 100 está tan
lejos de ser el valor de tal raíz como lo está 1 o cualquier otro número.

587. También debemos notar que cualquier cantidad de segundo grado,
xxtaxztb, siempre debe ser resoluble en dos factores como (x+ p)x(x+q). Esto
porque, si tomamos tres factores como éstos, llegaremos a una cantidad de tercer grado, y si
tomamos sólo uno, no pasaremos del primer grado. Por lo tanto, es cierto que toda
ecuación de segundo grado necesariamente contiene dos valores de x y que nunca puede
tener más o menos.

588. Ya hemos visto que, cuando encontramos los dos factores, también conocemos
los dos valores de x, ya que cada factor da uno de tales valores cuando se supone que es
=0. Lo inverso también es cierto, esto es, que cuando hemos encontrado un valor de x,
también conocemos uno de los factores de la ecuación, porque si x= p representa uno de
los valores de x en cualquier ecuación de segundo grado, x— p es uno de los factores de tal
ecuación; es decir, una vez llevados todos los términos a un lado, la ecuación es divisible
entre x— p , además de que el cociente expresa al otro factor.

589. Para ilustrar lo recién dicho, consideremos la ecuación xx+4x-21=0, en

donde sabemos que x=3 es uno de los valores de x porque (3x3) +(4x3)-21=0; esto

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muestra que x—3 es uno de los factores de la ecuación o que xx+4x-—21 es divisible
entre x—3, lo que prueba la división real. Así,

x—3)xx+4x -21(x +7

xx —3x

2121

T—21

O.

De tal manera que el otro factor es x+*7, y nuestra ecuación está representada por

el producto (x-3)x (x+7) =0, de donde inmediatamente se siguen los dos valores de x, el

primer factor dando x=3 y el segundo x=-7.

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